Question

【題目】如圖，矩形AOBC放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊OA在y軸的正半軸上，邊OB在x軸的正半軸上，拋物線的頂點(diǎn)為F，對(duì)稱軸交AC于點(diǎn)E，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C，點(diǎn)D（3，0）．∠AOB的平分線是OE，交拋物線對(duì)稱軸左側(cè)于點(diǎn)H，連接HF．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在x軸上有動(dòng)點(diǎn)M，線段BC上有動(dòng)點(diǎn)N，求四邊形EAMN的周長(zhǎng)的最小值；

（3）該拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形EHFP為平行四邊形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x+2；（2）；（3）不存在點(diǎn)P，使得四邊形EHFP為平行四邊形，理由見解析．

【解析】

（1）根據(jù)題意可以得到C的坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線過點(diǎn)A、C、D可以求得該拋物線的解析式；

（2）根據(jù)對(duì)稱軸和圖形可以畫出相應(yīng)的圖形，然后找到使得四邊形EAMN的周長(zhǎng)的取得最小值時(shí)的點(diǎn)M和點(diǎn)N即可，然后求出直線MN的解析式，然后直線MN與x軸的交點(diǎn)即可解答本題；

（3）根據(jù)題意作出合適的圖形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知EH＝FP，而通過計(jì)算看EH和FP是否相等，即可解答本題．

解：（1）∵AE∥x軸，OE平分∠AOB，

∴∠AEO＝∠EOB＝∠AOE，

∴AO＝AE，

∵A（0，2），

∴E（2，2），

∴點(diǎn)C（4，2），

設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝ax2+bx+2，

∵C（4，2）和D（3，0）在該函數(shù)圖象上，

∴，得，

∴該拋物線的解析式為y＝x2﹣x+2；

（2）作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A1，作點(diǎn)E關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)E1，連接A1E1，交x軸于點(diǎn)M，交線段BC于點(diǎn)N．

根據(jù)對(duì)稱與最短路徑原理，

此時(shí)，四邊形AMNE周長(zhǎng)最�。�

易知A1（0，﹣2），E1（6，2）．

設(shè)直線A1E1的解析式為y＝kx+b，

，得，

∴直線A1E1的解析式為．

當(dāng)y＝0時(shí)，x＝3，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0）．

∴由勾股定理得AM＝，ME1＝，

∴四邊形EAMN周長(zhǎng)的最小值為AM+MN+NE+AE＝AM+ME1+AE＝；

（3）不存在．

理由：過點(diǎn)F作EH的平行線，交拋物線于點(diǎn)P．

易得直線OE的解析式為y＝x，

∵拋物線的解析式為y＝x2﹣x+2＝，

∴拋物線的頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，﹣），

設(shè)直線FP的解析式為y＝x+b，

將點(diǎn)F代入，得，

∴直線FP的解析式為．

，

解得或，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），FP＝×（﹣2）＝，

，

解得，或，

∵點(diǎn)H是直線y＝x與拋物線左側(cè)的交點(diǎn)，

∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（，），

∴OH＝×＝，

易得，OE＝2，

EH＝OE﹣OH＝2﹣ ＝，

∵EH≠FP，

∴點(diǎn)P不符合要求，

∴不存在點(diǎn)P，使得四邊形EHFP為平行四邊形．