【題目】如圖①,在平面直角坐標系中,當線段AB與坐標軸不垂直時,以線段AB為斜邊作Rt△ABC,且邊BC⊥x軸,則稱AC+BC的值為線段AB的直角距離,記作L(AB);當線段AB與坐標軸垂直時,線段AB的直角距離不存在.
(1)在平面直角坐標系中,A(1,4),B(4,2),求L(AB).
(2)在平面直角坐標系中,點A與坐標原點重合,點B(x,y),且L(AB)=2.
①當點B(x,y)在第一象限時,易知AC=x,BC=y.由AC+BC=L(AB),可得y與x之間的函數(shù)關系式為 ,其中x的取值范圍是 ,在圖②中畫出這個函數(shù)的圖象.
②請模仿①的思考過程,分別探究點B在其它象限的情形,仍然在圖②中分別畫出點B在二、三、四象限時,y與x的函數(shù)圖象.(不要求寫出探究過程)
(3)在平面直角坐標系中,點A(1,1),在拋物線y=a(x﹣h)2+5上存在點B,使得2≤L(AB)≤4.
①當a=﹣時,直接寫出h的取值范圍.
②當h=0,且△ABC是等腰直角三角形時,直接寫出a的取值范圍.
【答案】(1)5;(2)①y=-x+2,0<x<2,圖象詳見解析;②y=x+2或y=-x-2或y=x-2,圖象詳見解析;(3)①或或或;②或.
【解析】
(1)根據(jù)定義直接計算即可;
(2)①由A(0,0),B(x,y),且點B(x,y)在第一象限,L(AB)=2,易得:x+y=2,從而得到答案;
②根據(jù)點A、B坐標及點B所在象限,L(AB)=2,分象限討論即可得出答案畫出圖形;
(3)①先求出特殊情況時對應的h,令-(x-h)2+5=1,得x=h+4或x=h-4,再分情況討論,構建不等式解決問題即可;
②由是等腰直角三角形,且2≤L(AB)≤4,利用特殊點,分別求解即可.
解:(1)∵A(1,4),B(4,2),
∴L(AB)=AC+BC=(4-1)+(4-2)=5;
(2)①∵A(0,0),B(x,y),且點B在第一象限,L(AB)=2,
∴x+y=2,
∴y=-x+2,(0<x<2),圖象如圖所示;
故答案為:y=-x+2,0<x<2;
②當B在第二象限時,-x+y=2,
∴y=x+2,圖象如圖所示;
當B在第三象限時,-x-y=2,
∴y=-x-2,圖象如圖所示;
當B在第四象限,x-y=2,
∴y=x-2,圖象如圖所示;
(3)①當-(x-h)2+5=1時,x=h+4或x=h-4,
當時,即或時,2≤L(AB)≤4,
當時,即或時,2≤L(AB)≤4,
故h的取值范圍為:或或或;
②∵是等腰直角三角形,
∴AC=BC,
又∵L(AB)=AC+BC,且2≤L(AB)≤4,
∴1≤AB≤2,1≤BC≤2,
∴如圖,當拋物線經(jīng)過B(2,2)時,L(A,B)=2,此時2=4a+5,解得a=,
當拋物線經(jīng)過B′(3,3)時,L(A,B)=4,此時3=9a+5,解得a=,
當拋物線經(jīng)過B″(-1,3)時,L(A,B)=4,此時3=a+5,解得a=-2,
觀察圖象可知,滿足條件的a的值為:或.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】“長跑”是中考體育考試項目之一.某中學為了解九年級學生“長跑”的情況,隨機抽取部分九年級學生,測試其長跑成績(男子1000米,女子800米),按長跑的時間的長短依次分為A,B,C,D四個等級進行統(tǒng)計,并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)在這次調查中共抽取了 名學生,扇形統(tǒng)計圖中,D類所對應的扇形圓心角大小為 ;
(2)所抽取學生“長跑”測試成績的中位數(shù)會落在 等級;
(3)若該校九年級共有900名學生,請你估計該校C等級的學生約在多少人?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著通訊技術的迅猛發(fā)展,人與人之間的溝通方式更多樣、便捷某校數(shù)學興趣小組設計了“你最喜歡的溝通方式”調查問卷(每人必選且只選一種),在全校范圍內隨機調查了部分學生,將統(tǒng)計結果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請結合圖中所給的信息解答下列問題:
(1)這次統(tǒng)計共抽查了多少名學生?在扇形統(tǒng)計圖中,表示" "的扇形圓心角的度數(shù)是多少;
(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)該校共有1500名學生,請估計該校最喜歡用 “微信”進行溝通的學生大約有多少名?
(4)某天甲、乙兩名同學都想從“微信"、""、“電話"三種溝通方式中選一種方式與對方聯(lián)系,請用列表或畫樹狀圖的方法求出甲、乙兩名同學恰好選擇同一種溝通方式的概率.
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【題目】如圖,△ABO是正三角形,CD∥AB,把△ABO繞△OCD的內心P旋轉180°得到△EFG
(1)在圖中畫出點P和△EFG,保留畫圖痕跡,簡要說明理由
(2)若AO=3,CD=2,求A點運動到E點路徑的長.
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【題目】目前,步行已成為人們最喜愛的健身方式之一,通過手機可以計算行走的步數(shù)與相應的能量消耗.對比手機數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn),小明步行消耗330000卡能量的步數(shù)與小紅步行消耗300000卡能量的步數(shù)相同.已知小明平均每步消耗的能量比小紅平均每步消耗的能量多3卡,求小紅平均每步消耗能量的卡數(shù).
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【題目】閱讀下面的材料:
小明同學遇到這樣一個問題,如圖1,AB=AE,∠ABC=∠EAD,AD=mAC,點P在線段BC上,∠ADE=∠ADP+∠ACB,求的值.
小明研究發(fā)現(xiàn),作∠BAM=∠AED,交BC于點M,通過構造全等三角形,將線段BC轉化為用含AD的式子表示出來,從而求得的值(如圖2).
(1)小明構造的全等三角形是:_________≌________;
(2)請你將小明的研究過程補充完整,并求出的值.
(3)參考小明思考問題的方法,解決問題:
如圖3,若將原題中“AB=AE”改為“AB=kAE”,“點P在線段BC上”改為“點P在線段BC的延長線上”,其它條件不變,若∠ACB=2α,求:的值(結果請用含α,k,m的式子表示).
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【題目】如圖所示,在平面直角坐標系中,等邊三角形OAB的一條邊OB在x軸的正半軸上,點A在雙曲線y=(k≠0)上,其中點B為(2,0).
(1)求k的值及點A的坐標
(2)△OAB沿直線OA平移,當點B恰好在雙曲線上時,求平移后點A的對應點A’的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,男生樓在女生樓的左側,兩樓高度均為90m,樓間距為AB,冬至日正午,太陽光線與水平面所成的角為,女生樓在男生樓墻面上的影高為CA;春分日正午,太陽光線與水平面所成的角為,女生樓在男生樓墻面上的影高為DA,已知.
求樓間距AB;
若男生樓共30層,層高均為3m,請通過計算說明多少層以下會受到擋光的影響?參考數(shù)據(jù):,,,,,
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形AOBC放置在平面直角坐標系xOy中,邊OA在y軸的正半軸上,邊OB在x軸的正半軸上,拋物線的頂點為F,對稱軸交AC于點E,且拋物線經(jīng)過點A(0,2),點C,點D(3,0).∠AOB的平分線是OE,交拋物線對稱軸左側于點H,連接HF.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)在x軸上有動點M,線段BC上有動點N,求四邊形EAMN的周長的最小值;
(3)該拋物線上是否存在點P,使得四邊形EHFP為平行四邊形?如果存在,求出點P的坐標;如果不存在,請說明理由.
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