Question

已知拋物線與x軸交于A（-3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），拋物線頂點(diǎn)為D，連接AD，AC，CD．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）△ACD與△COB是否相似？如果相似，請給以證明；如果不相似，請說明理由；
（3）拋物線的對稱軸與線段AC交于點(diǎn)E，求△CED的面積．

Answer 1

分析：（1）拋物線過A，B，C三點(diǎn)，則這三點(diǎn)的坐標(biāo)適合拋物線解析式，從而求出拋物線解析式．
（2）根據(jù)拋物線的解析式，可通過配方（公式法亦可）求得D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分別求出兩個(gè)三角形中六條邊的長，然后判斷它們是否對應(yīng)成比例即可．
（3）此題有兩種解法：
①由（2）證得：△ACD∽△COB，則△ACD是直角三角形，求得了直角邊AC、CD的長，即可求出△ACD的面積；然后通過比較A、E、C三點(diǎn)坐標(biāo)，求出△AED、△CED、△ACD面積的比例關(guān)系，從而求出△CED的面積；
②先求出直線AC的解析式，聯(lián)立拋物線對稱軸可得到E點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求出DE的長，以DE為底，E點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對值為高即可得到△CED的面積．

解答：解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx-3（a≠0），（1分）
根據(jù)題意，得

a+b-3=0 9a-3b-3=0

，
解得

a=1 b=2

，（2分）
∴拋物線的解析式為y=x²+2x-3．（1分）

（2）相似（1分）
由y=x²+2x-3配方得y=（x+1）²-4，
∴D（-1，-4），（1分）
由兩點(diǎn)間距離公式得AD=2

5

，CD=

2

，AC=3

2

，（2分）
又∵CB=

10

，BO=1，OC=3，
∴

AD

CB

=

CD

BO

=

AC

CO

=

2

，
∴△ACD∽△COB．（2分）

（3）由（2）可知∠ACD=90°，
∴S△ADC=

1

2

AC•CD=3，（1分）
∵拋物線的對稱軸是x=-1，A到x=-1的距離是2，C到x=-1的距離是1，
∴S△CDE=

1

2

S△ADE，又S_△ADC=S_△CDE+S_△ADE，
∴S△CDE=

1

3

S△ADC=1．（1分）

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定以及圖形面積的求法，比較簡單．