Question

【題目】如圖，A（0，2），B（1，0），點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，將線段BA繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)D．

（1）若該拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，且a=﹣ ，求該拋物線的解析式；
（2）在（1）的條件下，點(diǎn)P（m，n）在拋物線上，且∠POB銳角，滿足∠POB+∠BCD＜90°，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為F．

∵∠ABD=90°，

∴∠DBF+∠ABO=90°．

又∵∠OAB+∠ABO=90°，

∴∠DBF=∠OAB．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AB=BD．

在△AOB和△BFD中 ，

∴△AOB≌△BFD．

∴DF=OB=1，AO=BF=2．

∴D（3，1）．

把點(diǎn)D和點(diǎn)O的坐標(biāo)代入y=﹣ x2+bx+c得： ，解得：b= ，c=0．

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x

（2）

解：如圖2所示：

∵點(diǎn)A（0，2），B（1，0），C為線段AB的中點(diǎn)，

∴C（ ，1）．

∵C、D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，

∴CD∥x軸．

∴∠BCD=∠ABD．

∴當(dāng)∠POB=∠BAO時，恰好∠POB+∠BCD=90°．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣ m2+ m）．

當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且∠POB=∠BAO時，則tan∠POB=tan∠BAO= ，

即 = ，解得：m= 或m=0（舍去）．

當(dāng)點(diǎn)P位于x軸的下方，點(diǎn)P′處時，且∠POB=∠BAO時，則tan∠POB=tan∠BAO= ，

即 = ，解得：m= 或m=0（舍去）．

由圖形可知：當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上P與P′之間移動時，∠POB+∠BCD＜90°，

∴m的取值范圍是： ＜m＜

【解析】（1）過點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為F．先證明△AOB≌△BFD，于是可得到D（3，1），將a=﹣ 以及點(diǎn)D和點(diǎn)O的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求解即可；（2）先證明CD∥x軸，依據(jù)題意可知：當(dāng)∠POB=∠BAO時，恰好∠POB+∠BCD=90°，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣ m2+ m），由∠POB=∠BAO，可得到tan∠POB= ，據(jù)此可得到關(guān)于m的方程，從而可求得m的值，最后依據(jù)圖形可得到當(dāng)∠POB+∠BCD＜90°時，m的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．