Question

如圖，在正方形ABCD中，E為AB中點，G、F分別是AD、BC邊上的點，若AG+BF=5，∠GEF=90°，則GF的長為

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,正方形的性質(zhì)

專題：

分析：首先證明△AEG∽△BFE，從而推出對應(yīng)邊成比例：

AE

FB

=

AG

BE

，因為AE=BE，可得AE²=AG•BF，再根據(jù)GF²=GE²+EF²=AG²+AE²+BE²+BF²=進行化簡可得GF²=（AG+BF）²，進而得到答案．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠GEA+∠FEB=90°，
∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB．
∴△AEG∽△BFE，
∴

AE

FB

=

AG

BE

，
又∵AE=BE，
∴AE²=AG•BF，
∴GF²=GE²+EF²=AG²+AE²+BE²+BF²=AG²+BF²+AE²+BE²=AG²+BF²+2AE²=AG²+BF²+2AG•BF=（AG+BF）²=25，
∴GF的長為5．
故答案為：5．

點評：此題考查相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確利用勾股定理．易錯點：如果學生沒有發(fā)現(xiàn)相似三角形就無從入手解題了，或相似三角形對應(yīng)邊的比找不對．