Question

如圖，點(diǎn)P₁、P₂、…P_n是反比例函數(shù)y=

16

x

在第一象限圖象上，點(diǎn)A₁、A₂…A_n在x軸上，若△P₁OA₁、△P₂A₁A₂…△P_nA_N-1A_N均為等腰直角三角形，則：
（1）P₁點(diǎn)的坐標(biāo)為

 

；
（2）求點(diǎn)A₂與點(diǎn)P₂的坐標(biāo)；
（3）直接寫出點(diǎn)A_n與點(diǎn)P_n的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，知點(diǎn)P₁的橫、縱坐標(biāo)相等，再結(jié)合雙曲線的解析式得到點(diǎn)P₁的坐標(biāo)是（4，4），則根據(jù)等腰三角形的三線合一求得點(diǎn)A₁的坐標(biāo)；
（2）同樣根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、點(diǎn)A₁的坐標(biāo)和雙曲線的解析式求得A₂點(diǎn)的坐標(biāo)和點(diǎn)P₂的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)A₁、A₂點(diǎn)的坐標(biāo)特征和P₁、P₂點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可推而廣之．

解答：解：（1）可設(shè)點(diǎn)P₁（x，y），
根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得：x=y，
又∵y=

16

x

，
則x²=16，
∴x=±4（負(fù)值舍去），
∴P₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，4）；

（2）再根據(jù)等腰三角形的三線合一，得A₁的坐標(biāo)是（8，0），
設(shè)點(diǎn)P₂的坐標(biāo)是（8+y，y），
又∵y=

16

x

，
則y（8+y）=16，
即y²+8y-16=0
解得y₁=-4+4

2

，y₂=-4-4

2

，
∵y＞0，
∴y=-4+4

2

，
∴P₂的坐標(biāo)為（4+4

2

，4

2

-4），
再根據(jù)等腰三角形的三線合一，得A₂的坐標(biāo)是（8

2

，0）；

（2）可以再進(jìn)一步求得點(diǎn)A₃的坐標(biāo)為（8

3

，0），推而廣之A_n的坐標(biāo)是（8

n

，0），
 可以再進(jìn)一步求得點(diǎn)P₃的坐標(biāo)為（4

3

+4

2

，4

3

-4

2

），推而廣之P_n（4

n

+4

n-1

，4

n

-4

n-1

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵是要根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)的解析式進(jìn)行求解．