Question

已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=,AE⊥BD，垂足是E.點F是點E關(guān)于AB的對稱點，連接AF、BF.

（1）求AE和BE的長；

（2）若將△ABF沿著射線BD方向平移，設(shè)平移的距離為m（平移距離指點B沿BD方向所經(jīng)過的線段長度）.當點F分別平移到線段AB、AD上時，直接寫出相應的m的值.

（3）如圖②，將△ABF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一個角（0°＜＜180°），記旋轉(zhuǎn)中的△ABF為△A′BF′，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)A′F′所在的直線與直線AD交于點P.與直線BD交于點Q.是否存在這樣的P、Q兩點，使△DPQ為等腰三角形？若存在，求出此時DQ的長；若不存在，請說明理由.

 

 

Answer 1

（1）4，3；（2）當點F在線段AB上時，；當點F在線段AD上時，；

（3）存在，.

【解析】

試題分析：（1）由勾股定理求得BD的長，根據(jù)三角形面積公式求出AE的長，再應用勾股定理即可求得BE的長.

（2）根據(jù)平移的性質(zhì)求解即可.

（3）分DP=DQ（考慮點Q在線段BD的延長線和點Q在線段BD上兩種情況），QP=QD，PD=PQ三種情況求解即可.

試題解析：（1）∵AB=5，AD=，∴由勾股定理得.

∵，∴，解得AE=4.

∴.

（2）當點F在線段AB上時，；當點F在線段AD上時，.

（3）存在，理由如下：

①當DP=DQ時，若點Q在線段BD的延長線上時，如答圖1，有∠Q=∠1，則∠2=∠1+∠Q=2∠Q.

∵∠3=∠4+∠Q，∠3=∠2，∴∠4+∠Q=2∠Q.∴∠4=∠Q.

∴A′Q=A′B=5.∴F′Q=4+5=9.

在Rt△BF′Q中，，解得或（舍去）.

若點Q在線段BD上時，如答圖2，有∠1=∠2=∠4，

∵∠1=∠3，∴∠3=∠4.

∵∠3=∠5+∠A′，∠A′=∠CBD，∴∠3=∠5+∠CBD=∠A′BQ.∴∠4=∠∠A′BQ.∴A′Q= A′B=5.

∴F′Q=5-4=1.∴.∴.

②當QP=QD時，如答圖3，有∠P=∠1，

∵∠A′=∠1，∠2=∠3，∴∠4=∠P.∴∠4=∠A′.∴QB=Q A′.

設(shè)QB=Q A′=x，

在Rt△BF′Q中，設(shè)備，解得.

③當PD=PQ時，如答圖4，有∠1=∠2=∠3，

∵∠1=∠A′，∴∠3=∠A′.∴BQ=A′B=5.

∴.

綜上所述，當△DPQ為等腰三角形時，DQ的長為.

考點：1.軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)問題；2.矩形的性質(zhì)；3.勾股定理；4.等腰三角形存在性問題；5.勾股定理；6.分類思想的應用.