Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持
∠1=∠B．設(shè)BD的長(zhǎng)為x（0＜x＜8）．

（1）求證：△DCE∽△ABD；
（2）用含x的代數(shù)式表示CE的長(zhǎng)；當(dāng)CE=2時(shí)，求x的值；
（3）當(dāng)x為何值時(shí)，△ADE為等腰三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊對(duì)等角，可以證得∠B=∠C，然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，證得∠2=∠3，根據(jù)有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似即可證得；
（2）根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可用列方程求得x的值；
（3）分三種情況進(jìn)行討論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）∵∠ADC=∠1+∠2=∠B+∠3，∠1=∠B，
∴∠2=∠3．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△DCE∽△ABD；
（2）∵△DCE∽△ABD，
∴

CE

BD

=

DC

AB

，即

CE

x

=

8-x

6

，
∴CE=-

1

6

x²+

4

3

x，
∵CE=2，
∴-

1

6

x²+

4

3

x=2，
解得：x=2或6．
解這個(gè)方程，得x₁=2，x₂=6；
（3）①當(dāng)DA=DE時(shí)，△DCE≌△ABD，
∴DC=AB=6，即8-x=6．解得 x=2．
②當(dāng)EA=ED時(shí)，∠DAE=∠1=∠B=∠C．
∴△DAC∽△ABC．
∴

DC

AC

=

AC

BC

，即

8-x

6

=

6

8

．
解得 x=

7

2

．
③當(dāng)AD=AE時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，此時(shí)x=0．
（或當(dāng)AD=AE時(shí)，∠1=∠AED＞∠C，
∵∠1=∠B=∠C，
∴AD=AE情況不成立．
綜上所述，當(dāng)x=2或x=

7

2

時(shí)，△ADE為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，正確證明△DCE∽△ABD是關(guān)鍵．