Question

（2013•樂山）閱讀下列材料：
如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)M，N分別在邊AB，DC上，且MN∥AD，記AD=a，BC=b．若

AM

MB

=

m

n

，則有結(jié)論：MN=

bm+an

m+n

．
請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論，解答下列問題：
如圖2，圖3，BE，CF是△ABC的兩條角平分線，過EF上一點(diǎn)P分別作△ABC三邊的垂線段PP₁，PP₂，PP₃，交BC于點(diǎn)P₁，交AB于點(diǎn)P₂，交AC于點(diǎn)P₃．
（1）若點(diǎn)P為線段EF的中點(diǎn)．求證：PP₁=PP₂+PP₃；
（2）若點(diǎn)P為線段EF上的任意位置時(shí)，試探究PP₁，PP₂，PP₃的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）如答圖1所示，作輔助線，由角平分線性質(zhì)可知ER=ES，F(xiàn)M=FN；再由中位線性質(zhì)得到FM=2PP₃，ER=2PP₂；最后，在梯形FMRE中，援引題設(shè)結(jié)論，列出關(guān)系式，化簡(jiǎn)得到：PP₁=PP₂+PP₃；
（2）如答圖2所示，作輔助線，由角平分線性質(zhì)可知ER=ES，F(xiàn)M=FN；再由相似三角形比例線段關(guān)系得到：ER=

m+n

m

PP₂；FM=

m+n

n

PP₃；最后，在梯形FMRE中，援引題設(shè)結(jié)論，列出關(guān)系式，化簡(jiǎn)得到：PP₁=PP₂+PP₃．

解答：（1）證明：如答圖1所示，
BE為角平分線，過點(diǎn)E作ER⊥BC于點(diǎn)R，ES⊥AB于點(diǎn)S，則有ER=ES；
CF為角平分線，過點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥AC于點(diǎn)N，則有FM=FN．

點(diǎn)P為中點(diǎn)，由中位線的性質(zhì)可知：ES=2PP₂，F(xiàn)N=2PP₃．
∴FM=2PP₃，ER=2PP₂．
在梯形FMRE中，F(xiàn)M∥PP₁∥ER，

FP

PE

=

1

1

，
根據(jù)題設(shè)結(jié)論可知：
PP₁=

ER×1+FM×1

1+1

=

ER+FM

2

=

2PP2+2PP3

2

=PP₂+PP₃．
∴PP₁=PP₂+PP₃．

（2）探究結(jié)論：PP₁=PP₂+PP₃．
證明：如答圖2所示，
BE為角平分線，過點(diǎn)E作ER⊥BC于點(diǎn)R，ES⊥AB于點(diǎn)S，則有ER=ES；
CF為角平分線，過點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥AC于點(diǎn)N，則有FM=FN．

點(diǎn)P為EF上任意一點(diǎn)，不妨設(shè)

PF

PE

=

m

n

，則

PF

EF

=

m

m+n

，

PE

EF

=

n

m+n

．
∵PP₂∥ES，∴

PP2

ES

=

PF

EF

=

m

m+n

，∴ES=

m+n

m

PP₂；
∵PP₃∥FN，∴

PP3

FN

=

PE

EF

=

n

m+n

，∴FN=

m+n

n

PP₃．
∴ER=

m+n

m

PP₂；FM=

m+n

n

PP₃．
在梯形FMRE中，F(xiàn)M∥PP₁∥ER，

PF

PE

=

m

n

，
根據(jù)題設(shè)結(jié)論可知：
PP₁=

mER+nFM

m+n

=

m• m+n m PP2+n• m+n n PP3

m+n

=

(m+n)PP2+(m+n)PP3

m+n

=PP₂+PP₃．
∴PP₁=PP₂+PP₃．

點(diǎn)評(píng)：本題是幾何綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)．本題兩問之間體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，解題思路類似，并且同學(xué)們可仔細(xì)領(lǐng)會(huì)．