Question

如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q，且與軸交于點(diǎn)C，與軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），點(diǎn)P是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與A不重合），過點(diǎn)P作PD∥軸，交AC于點(diǎn)D．

(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)△ADP是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在問題(2)的結(jié)論下，若點(diǎn)E在軸上，點(diǎn)F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：（1）

∵拋物線的頂點(diǎn)為Q（2，-1）

∴設(shè)

將C（0，3）代入上式，得

∴， 即

                         

（2）分兩種情況：

                    ①(3分)當(dāng)點(diǎn)P₁為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P₁與點(diǎn)B重合(如圖)

 令=0,  得

解之得, 

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊,  ∴B(1,0), A(3,0)

∴P₁(1,0)

②(4分)解:當(dāng)點(diǎn)A為△APD₂的直角頂點(diǎn)是(如圖)

∵OA=OC,  ∠AOC=,  ∴∠OAD₂=

當(dāng)∠D₂AP₂=時(shí), ∠OAP₂=,  ∴AO平分∠D₂AP₂

又∵P₂D₂∥軸,  ∴P₂D₂⊥AO,  ∴P₂、D₂關(guān)于軸對稱.

設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為

將A(3,0), C(0,3)代入上式得

,      ∴

∴

∵D₂在上, P₂在上,

∴設(shè)D₂(,), P₂(,)

∴()+()=0

,   ∴,  (舍)

∴當(dāng)=2時(shí),

==-1

 ∴P₂的坐標(biāo)為P₂(2,-1)(即為拋物線頂點(diǎn))

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為P₁(1,0),  P₂(2,-1)

            (3)解: 由題(2)知,當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁(1,0)時(shí),不能構(gòu)成平行四邊形

當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₂(2,-1)(即頂點(diǎn)Q)時(shí),

平移直線AP(如圖)交軸于點(diǎn)E,交拋物線于點(diǎn)F.

當(dāng)AP=FE時(shí),四邊形PAFE是平行四邊形

∵P(2,-1),  ∴可令F(,1)

∴

解之得: , 

∴F點(diǎn)有兩點(diǎn),即F₁(,1), F₂(,1)