Question

如圖，在△ABC中，BP、CP分別是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分線，
（1）若∠ABC=20°，∠ACB=80°，則∠BPC=

 

．
（2）若∠A=70°，則∠BPC=

 

．
（3）試猜想∠BPC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想的正確性．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）先根據(jù)∠ABC=20°，∠ACB=80°得出∠DBC與∠BCE的度數(shù)，再根據(jù)BP、CP分別是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分線得出∠PBC與∠PCB的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出∠BPC的度數(shù)；
（2）由角平分線的定義及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得∠BCP=

1

2

∠BCE=

1

2

（∠A+∠CBA），∠CBP=

1

2

∠CBD=

1

2

（∠A+∠ACB）；所以∠BCP+∠CBP=∠A+

1

2

（∠CBA+∠ACB），進(jìn)而利用三角形的內(nèi)角和定理求解；
（3）根據(jù)（1）、（2）的證明即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵∠ABC=20°，∠ACB=80°，
∴∠DBC=180°-20°=160°，∠BCE=180°-80°=100°，
∵BP、CP分別是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分線，
∴∠PBC=

1

2

∠DBC=80°，∠PCB=

1

2

∠BDE=50°，
∴∠BPC=180°-80°-50°=50°．
故答案為：50°；

（2）∵∠BCP=

1

2

∠BCE=

1

2

（∠A+∠CBA），∠CBP=

1

2

∠CBD=

1

2

（∠A+∠ACB），
∴∠BCP+∠CBP=∠A+

1

2

（∠CBA+∠ACB），
又∵∠BCP+∠CBP=180°-∠BPC，∠CBA+∠ACB=180°-∠A，
∴180°-∠BCP=∠A+

1

2

（180°-∠A），
∵∠A=70°，
∴∠BPC=55°．
故答案為：55°；

（3）猜想：∠A=180°-2∠BPC．
同（2）可得，180°-∠BCP=∠A+

1

2

（180°-∠A），
即∠A=180°-2∠BPC．

點(diǎn)評：本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系．