如圖所示，已知點(diǎn)A是半圓上的三等分點(diǎn)，B是
AN
的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動點(diǎn)，⊙O的半徑為1．請問：P在MN上什么位置時，AP+BP的值最小？并給出AP+BP的最小值．
分析：通過作輔助線，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可將AP+BP的最小值轉(zhuǎn)化為求直角三角形的斜邊長．
解答：解：P位于A′B與MN的交點(diǎn)處，AP+BP的值最��；
作A關(guān)于MN的對稱點(diǎn)A′，根據(jù)圓的對稱性，則A′必在圓上，
連接BA′交MN于P，連接PA，則PA+PB最小，此時PA+PB=PA′+PB=A′B，
連接OA、OA′、OB，
∵
AN
=
1
3
MN
，
∴∠AON=∠A′ON=60°．
∵
AB
=
BN
，
∴∠BON=
1
2
∠AON=30°．
∴∠A′OB=90°．
∴A′B=
OA′2+OB2
=
12+12
=
2
．
即AP+BP的最小值是
2
．
點(diǎn)評：此題主要考查了軸對稱最短路線問題以及勾股定理和垂徑定理等知識，根據(jù)已知得出P點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，已知點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，D是AC上任意一點(diǎn)，M、N分別是AD、DB的中點(diǎn)，若AB=16，求MN的長．
精英家教網(wǎng)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，已知點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=
kx
的圖象在第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，過P點(diǎn)分別作x軸，y軸的垂線，垂足為M，N，若矩形OMPN的面積為5，則k=
 
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

15、如圖所示，已知點(diǎn)D是等邊三角形ABC的邊BC延長線上的一點(diǎn)，∠EBC=∠DAC，CE∥AB．求證：△CDE是等邊三角形．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖①所示，已知點(diǎn)0是∠EPF的平分線上的點(diǎn)，以點(diǎn)0為圓心的圓與角的兩邊分別交于A，B和C，D．求證：AB=CD．
變式：（1）若角的頂點(diǎn)P在圓上，如圖②所示，上述結(jié)論成立嗎？請加以說明；
（2）若角的頂點(diǎn)P在圓內(nèi)，如圖③所示，上述結(jié)論成立嗎？請加以說明．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

等腰直角三角形AOB中腰OA=OB=6，將它放在一個平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如圖所示，已知點(diǎn)P是AB邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q是OA邊上的定點(diǎn)，OQ=4．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，y），△OPQ的面積為S．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)S=10時，點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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