Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為B（2，1），且過點(diǎn)A（0，2），直線y=x與拋物線交于點(diǎn)D，E（點(diǎn)E在對(duì)稱軸的右側(cè)），拋物線的對(duì)稱軸交直線y=x于點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)G，EF⊥x軸，垂足為F，點(diǎn)P在拋物線上，且位于對(duì)稱軸的右側(cè)，PQ⊥x軸，垂足為點(diǎn)Q，△PCQ為等邊三角形

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）求證：CE=EF；

（4）連接PE，在x軸上點(diǎn)Q的右側(cè)是否存在一點(diǎn)M，使△CQM與△CPE全等？若存在，試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．[注：3+2=（+1）²]．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x﹣2）²+1，將點(diǎn)A（0，2）代入，得a（0﹣2）²+1=2，

解這個(gè)方程，得a=，

∴拋物線的表達(dá)式為y=（x﹣2）²+1=x²﹣x+2；

（2）將x=2代入y=x，得y=2

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2）即CG=2，

∵△PCQ為等邊三角形

∴∠CQP=60°，CQ=PQ，

∵PQ⊥x軸，

∴∠CQG=30°，

∴CQ=4，GQ=2．

∴OQ=2+2，PQ=4，

將y=4代入y=（x﹣2）²+1，得4=（x﹣2）²+1

解這個(gè)方程，得x₁=2+2=OQ，x₂=2﹣2＜0（不合題意，舍去）．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+2，4）；

（3）把y=x代入y=x²﹣x+2，得x=x²﹣x+2

解這個(gè)方程，得x₁=4+2，x₂=4﹣2＜2（不合題意，舍去）

∴y=4+2=EF

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4+2，4+2）

∴OE==4+4，

又∵OC==2，

∴CE=OE﹣OC=4+2，

∴CE=EF；

（4）不存在．

如圖，假設(shè)x軸上存在一點(diǎn)，使△CQM≌△CPE，則CM=CE，∠QCM=∠PCE

∵∠QCP=60°，

∴∠MCE=60°

又∵CE=EF，

∴EM=EF，

又∵點(diǎn)E為直線y=x上的點(diǎn)，

∴∠CEF=45°，

∴點(diǎn)M與點(diǎn)F不重合．

∵EF⊥x軸，這與“垂線段最短”矛盾，

∴原假設(shè)錯(cuò)誤，滿足條件的點(diǎn)M不存在．