Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，OA=16cm，OC=8cm，現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、C同時(shí)出發(fā)，P在線段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，Q在線段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）用含t的式子表示△OPQ的面積S；
（2）判斷四邊形OPBQ的面積是否是一個(gè)定值？如果是，請求出這個(gè)定值；如果不是，請說明理由；
（3）當(dāng)△OPQ∽△ABP時(shí)，拋物線y=

1

4

x²+bx+c經(jīng)過B、P兩點(diǎn)，求拋物線的解析式；
（4）在（3）的條件下，過線段BP上一動(dòng)點(diǎn)M作y軸的平行線交拋物線于N，求線段MN的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)速度與時(shí)間的關(guān)系分別表示出CQ、OP、OQ的長度，然后利用三角形的面積公式列列式整理即可得解；
（2）用矩形OABC的面積減去△ABP與△BCQ的面積，根據(jù)面積公式分別列式進(jìn)行整理即可得解；
（3）根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式

OQ

AP

=

OP

AB

，然后代入數(shù)據(jù)求解即可得到t值，從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）先求出直線BP的解析式，然后根據(jù)直線解析式與拋物線解析式設(shè)出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離表示出MN的長度，根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．

解答：解：（1）∵CQ=t，OP=2t，CO=8，
∴OQ=8-t，
∴S_△OPQ=

1

2

（8-t）×2t=-t²+8t（0＜t＜8）；

（2）∵S_{四邊形OPBQ}=S_矩形ABCD-S_△PAB-S_△CBQ，
=8×16-

1

2

×8×（16-2t）-

1

2

×16×t，
=128-64+8t-8t，
=64，
∴四邊形OPBQ的面積為一個(gè)定值，且等于64；

（3）當(dāng)△OPQ∽△ABP時(shí)，

OQ

AP

=

OP

AB

，
∴

8-t

16-2t

=

2t

8

，
解得：t₁=2，t₂=8（舍去），
此時(shí)P（4，0），
∵B（16，8），
∴

1 4 ×16+4b+c=0 1 4 ×256+16b+c=8

，
解得

b=- 13 3 c= 40 3

，
∴拋物線解析式是y=

1

4

x²-

13

3

x+

40

3

；

（4）設(shè)直線BP的解析式為y=kx+b，
則

4k+b=0 16k+b=8

，
解得

k= 2 3 b=- 8 3

，
∴直線BP的解析式是：y=

2

3

x-

8

3

，
設(shè)M（m，

2

3

m-

8

3

）、N（m，

1

4

m²-

13

3

m+

40

3

），
∵M(jìn)在BP上運(yùn)動(dòng)，
∴4≤m≤16，
∴MN=

2

3

m-

8

3

-（

1

4

m²-

13

3

m+

40

3

）=-

1

4

m²+5m-16，
∴當(dāng)m=-

b

2a

=10時(shí)，MN有最大值是9．

點(diǎn)評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，三角形的面積求解，不規(guī)則圖形的面積表示，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求直線解析式以及兩點(diǎn)間的距離公式，二次函數(shù)的最值問題，綜合性較強(qiáng)，準(zhǔn)確利用動(dòng)點(diǎn)表示出線段的長度是解題的關(guān)鍵．