Question

18．閱讀材料題：
小紅在解題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了如下規(guī)律：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，…聰明的你能用上面的規(guī)律來(lái)解答下列問(wèn)題嗎？求：
（1）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{9×10}$；
（2）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$；
（3）$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+$\frac{1}{8×10}$+…+$\frac{1}{98×100}$．

Answer 1

分析 （1）裂項(xiàng)相消可得；
（2）裂項(xiàng)相消可得；
（3）每個(gè)分?jǐn)?shù)都提取$\frac{1}{4}$后，將括號(hào)內(nèi)裂項(xiàng)相消后即可得．

解答 解：（1）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$
=1-$\frac{1}{10}$
=$\frac{9}{10}$；

（2）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$
=1-$\frac{1}{n}$
=$\frac{n-1}{n}$；

（3）原式=$\frac{1}{4}$×（$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{49×50}$）
=$\frac{1}{4}$×（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{49}$-$\frac{1}{50}$）
=$\frac{1}{4}$×（1-$\frac{1}{50}$）
=$\frac{1}{4}$×$\frac{49}{50}$
=$\frac{49}{200}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了規(guī)律型中數(shù)字的變化類，根據(jù)等式中數(shù)的變化找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．