Question

如圖，OA、OB為⊙O的半徑，OA⊥OB，連接AB，點(diǎn)C、D分別為OB、OA的中點(diǎn)，線段AC、BD相交于E
（1）求證：AC=BD；
（2）若BE=2，求⊙O的半徑OA的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）∵OA=OB，點(diǎn)C、D分別為OB、OA的中點(diǎn)，
∴OC=OD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD．

（2）連接DC，
∵點(diǎn)C、D分別為OB、OA的中點(diǎn)，
∴DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，∠DEC=∠AEB，
∴△DCE∽△BAE，
∴，
∴，
∴，
在Rt△OBD中，OD²+（2OD）²=BD²，
∴OD=3，
∴BO=AO=2OD=6．
分析：（1）求出OC=OD，根據(jù)SAS證出△AOC≌△BOD即可．
（2）連接DC，根據(jù)三角形中位線求出△DCE∽△BAE，得出比例式，求出DE，求出DB，根據(jù)勾股定理求出OD，即可得出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形中位線，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．