Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A，二次函數(shù)y=x2+mx+n的圖象經(jīng)過點(diǎn)A．

（1）當(dāng)m=4時(shí)，求n的值；

（2）設(shè)m=﹣2，當(dāng)﹣3≤x≤0時(shí)，求二次函數(shù)y=x2+mx+n的最小值；

（3）當(dāng)﹣3≤x≤0時(shí)，若二次函數(shù)﹣3≤x≤0時(shí)的最小值為﹣4，求m、n的值．

Answer 1

【答案】（1）3（2）-15（3）m=2，n=-3

【解析】分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把A點(diǎn)坐標(biāo)和m的值代入可求出n的值；

（2）表示出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，由m的值以及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)得到二次函數(shù)的最值；

（3）根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸的位置，分類討論即可求出m、n的值.

詳解：（1）當(dāng)y=x+3=0時(shí)，x=﹣3，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）．

∵二次函數(shù)y=x2+mx+n的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，

∴0=9﹣3m+n，即n=3m﹣9，

∴當(dāng)m=4時(shí)，n=3m﹣9=3．

（2）拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣，

當(dāng)m=﹣2時(shí)，對(duì)稱軸為x=1，n=3m﹣9=﹣15，

∴當(dāng)﹣3≤x≤0時(shí)，y隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x=0時(shí)，二次函數(shù)y=x2+mx+n的最小值為﹣15．

（3）①當(dāng)對(duì)稱軸﹣≤﹣3，即m≥6時(shí)，如圖1所示．

在﹣3≤x≤0中，y=x2+mx+n的最小值為0，

∴此情況不合題意；

②當(dāng)﹣3＜﹣＜0，即0＜m＜6時(shí)，如圖2，

有，

解得：或（舍去），

∴m=2、n=﹣3；

③當(dāng)﹣≥0，即m≤0時(shí)，如圖3，

有，

解得：（舍去）．

綜上所述：m=2，n=﹣3．