Question

（2013•浦東新區(qū)模擬）如圖，已知△ABC．
（1）根據(jù)要求畫圖：在圖中找出點P，使點P到∠B兩邊的距離相等，且使PA=PC；
（2）連結(jié)PA、PC，如果∠ABC=60°，求∠APC．

Answer 1

分析：（1）首先做AC的垂直平分線，再作∠B的角平分線，兩線的交點就是P點；
（2）過點P作PM⊥AB，垂足為M；過點P作PN⊥BC，垂足為N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PM=PN，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得PA=PC，進(jìn)而可證出Rt△AMP≌Rt△CNP，可得∠MPA=∠NPC．進(jìn)而可證出∠APC=∠MPN，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和即可得到答案．

解答：解：（1）如圖所示：

（2）過點P作PM⊥AB，垂足為M；過點P作PN⊥BC，垂足為N．
∵BP平分∠ABC，PM⊥AB，PN⊥BC，
∴PM=PN，∠AMP=∠CNP=90°，
∵PH垂直平分AC，
∴AP=PC，
∵在Rt△AMP和Rt△CNP中，

PM=PN PA=PC

，
∴Rt△AMP≌Rt△CNP（HL）．
∴∠MPA=∠NPC．
∴∠APC=∠NPC+∠APN=∠MPA+∠APN=∠MPN．
∵∠ABC=60°，∠AMP=∠CNP=90°，
∴∠APC=∠MPN=120°．

點評：此題主要考查了復(fù)雜作圖，以及角的計算，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是正確畫出圖形，掌握角平分線與線段垂直平分線的性質(zhì)．