Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C為圓周上的一點，過點C的直線MN滿足∠MCA＝∠CBA.

(1)求證：直線MN是⊙O的切線

(2)過點A作AD⊥MN于點D，交⊙O于點E，已知AB＝6，BC＝3，求陰影部分的面積.

Answer 1

 證明：(1)連接OC，∵AB是⊙O的直徑，C為圓周上的一點，

∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠OCB＝90°，

∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，

又∠MCA＝∠ABC，故∠MCA＝∠OCB，

∴∠ACO＋∠MCA＝90°，即OC⊥MN，直線MN過點C，

∴直線MN是⊙O的切線．(5分)

(2)連接OE、CE，由(1)OC⊥MN，AD⊥MN，得OC∥AE，

在Rt△ACB中，cosB＝＝，∴∠B＝60°，故OC＝OB＝BC＝3，

∴∠EAO＝∠COB＝60°，故OE＝OA＝EA＝3，∠EOC＝60°，

∴OC＝AE，四邊形AOCE是平行四邊形，故S_△EAC＝S_△EOC(8分)

于是，S_陰＝S_△ADC－S_扇形EOC，

在Rt△ACB中，BC＝3，AB＝6，∴AC＝3，

在Rt△ADC中，AC＝3，∠DCA＝∠B＝60°，

∴DC＝，AD＝，　∴S_△ADC＝AD·DC＝，(10分)

而S_扇形EOC＝于是S_陰＝S_△ADC－S_扇形EOC＝