Question

如圖，已知反比例函數(shù)y=

2

x

（x＞0）的圖象與一次函數(shù)y=kx+b的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，

1

2

），連接AC、BC，AC平行于y軸．
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）現(xiàn)有一個直角三角板，讓它的直角頂點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上的A、B之間的部分滑動（不與A、B重合），兩直角邊始終分別平行于x軸、y軸，且與線段AB交于M、N兩點(diǎn)，試判斷P點(diǎn)在滑動過程中，△PMN是否與△CAB總相似，試說明判斷理由；
（3）在（2）的條件下，請?zhí)骄渴欠翊嬖邳c(diǎn)P，使得MN：AB=1：3？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）由AC平行于y軸得A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，

1

2

），然后利用待定系數(shù)法求
一次函數(shù)解析式；
（2）由于點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，

1

2

），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，

1

2

），則可判斷BC∥x軸，而PM∥y軸，PN∥x軸，所以PN∥BC，PM∥AC，則∠PMN=∠CAB，∠ANM=∠ABC，根據(jù)相似三角形的判定即可得到△PMN∽△CAB；
（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，

2

a

），把y=

2

a

代入y=-

1

2

x+

5

2

可得到N點(diǎn)坐標(biāo)為（5-

4

a

，

2

a

），則NP=5-

4

a

-a，由于△PMN∽△CAB，利用相似比得到5-

4

a

-a=1，解得a=2，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）．

解答：解：（1）∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，

1

2

），AC平行于y軸，
∴A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
把x=1代入y=

2

x

得y=2，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
把x=4代入y=

2

x

得y=

1

2

，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，

1

2

），
把A（1，2），B（4，

1

2

）代入y=kx+b得

k+b=2 4k+b= 1 2

，解得

k=- 1 2 b= 5 2

，
∴一次函數(shù)解析式為y=-

1

2

x+

5

2

；
（2）△PMN與△CAB總相似．理由如下：
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，

1

2

），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，

1

2

），
∴BC∥x軸，
∵PM∥y軸，PN∥x軸，
∴PN∥BC，PM∥AC，
∴∠PMN=∠CAB，∠ANM=∠ABC，
∴△PMN∽△CAB；
（3）存在．
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，

2

a

），
把y=

2

a

代入y=-

1

2

x+

5

2

得-

1

2

x+

5

2

=

2

a

，即得x=5-

4

a

，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（5-

4

a

，

2

a

），
∴NP=5-

4

a

-a，
∵△PMN∽△CAB，
∴

MN

AB

=

NP

BC

，
而MN：AB=1：3，BC=3，
∴5-

4

a

-a=1，
整理得a²-4a+4=0，解得a₁=a₂=2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、圖形與坐標(biāo)的關(guān)系和相似三角形的判定與性質(zhì)；會運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．