Question

如圖，AB，BC分別是⊙O的直徑和弦，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，弦DE交⊙O于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C的切線交ED的延長(zhǎng)線于H，且HC=HG，連接BH，交⊙O于點(diǎn)M，連接MD，ME．
求證：
（1）DE⊥AB；
（2）∠HMD=∠MHE+∠MEH．

Answer 1

證明：（1）連接OC，
∵HC=HG，
∴∠HCG=∠HGC；
∵HC切⊙O于C點(diǎn)，
∴∠OCB+∠HCG=90°；
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠HGC=∠BGF，
∴∠OBC+∠BGF=90°，
∴∠BFG=90°，即DE⊥AB；

（2）連接BE，
由（1）知DE⊥AB，
∵AB是⊙O的直徑，
∴，
∴∠BED=∠BME；
∵四邊形BMDE內(nèi)接于⊙O，
∴∠HMD=∠BED，
∴∠HMD=∠BME；
∵∠BME是△HEM的外角，
∴∠BME=∠MHE+∠MEH，
∴∠HMD=∠MHE+∠MEH．
分析：（1）連接OC，證明∠BFG=∠OCH=90°即可；
（2）連接BE，證明∠HMD=∠DEB=∠EMB即可．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合性較強(qiáng)，主要考查了切線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和外角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．