Question

【題目】如圖，在ABCD中，∠ABD=90°，AD= 5，BD=3，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AB- BC以每秒個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B、C重合)．在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，過點(diǎn)P作AB所在直線的垂線．交邊AD或邊CD于點(diǎn)Q，以PQ為一邊作矩形PQMN，且QM=2．MN與BD在PQ的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)，

(1)當(dāng)t= 5時(shí)，求線段CP的長；

(2)求線段PQ的長(用含t的代數(shù)式表示)；

(3)當(dāng)點(diǎn)M落在BD上時(shí)，求t的值；

(4)當(dāng)矩形PQMN與ABCD重疊部分圓形為五邊形時(shí)，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（3）2或；（4），

【解析】

（1）如圖1中，利用勾股定理求出AB的長，t＝5時(shí)，點(diǎn)P在線段BC上，易知PB＝1，PC＝4；

（2）分兩種情形求解即可①如圖2中，當(dāng)0＜t＜4時(shí)，②如圖3中，當(dāng)5＜t＜10時(shí)；

（3）分兩種情形求解即可①如圖4中，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，點(diǎn)M在線段BD上，求出AP．②如圖5中，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，點(diǎn)M與D重合時(shí)；

（4）分兩種情形分別求解即可①如圖6中，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，重疊部分是五邊形PBKMQ時(shí)，2＜t＜4．②如圖7中，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，重疊部分是五邊形PQDKN時(shí)，4＜t＜6.5；

（1）如圖1中，

在Rt△ABD中，∵∠ABD＝90，AD＝5，BD＝3，

∴AB＝＝4，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝4，

當(dāng)t＝5時(shí)，點(diǎn)P在BC上，PB＝1，

∴PC＝4．

（2）①如圖2中，當(dāng)0＜t＜4時(shí)，

∵PQ∥BD，

∴，

∴，

∴PQ＝t．

②如圖3中，當(dāng)5＜t＜10時(shí)，

∵PQ∥BD，

∴，

∴，

∴PQ＝（9t）．

∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

（3）①如圖4中，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，點(diǎn)M在線段BD上，

∵QM∥AB，

∴，

∴，

∴DQ＝，

∴AQ＝DQ，

∵PQ∥BD，

∴AP＝PB＝2，

∴t＝2．

②如圖5中，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，點(diǎn)M與D重合時(shí)，

∵QM=2，∴CQ=CD- QM=2,

∴Q點(diǎn)是CD中點(diǎn)，

故PQ是△BCD是中位線

故PB＝PC＝BC=，

此時(shí)t＝4＋＝．

∴當(dāng)點(diǎn)M落在BD上時(shí)，求t的值為2或；

（4）①如圖6中，重疊部分是五邊形PBKMQ

由圖4可知，當(dāng)P點(diǎn)為AB中點(diǎn)時(shí)，t=2

當(dāng)P點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，t=4

故當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，重疊部分是五邊形PBKMQ時(shí)，2＜t＜4；

②如圖7中，重疊部分是五邊形PQDKN，

由圖5可知，當(dāng)P點(diǎn)為BC中點(diǎn)時(shí)，t=,

當(dāng)P點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，t=4,

當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，重疊部分是五邊形PQDKN時(shí)，4＜t＜6.5．

∴當(dāng)矩形POMN與ABCD重疊部分圓形為五邊形時(shí)， t的取值范圍是2＜t＜4或4＜t＜6.5．