Question

【題目】如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，且，點(diǎn)在射線上（點(diǎn)不與點(diǎn)重合）．將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，交射線于點(diǎn)．

（1）如圖1，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，線段，，的數(shù)量關(guān)系為　　．

（2）如圖2，若點(diǎn)不是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立．若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．

（3）正方形的邊長為6，，，請直接寫出線段的長．

Answer 1

【答案】（1）；理由見解析；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由見解析；（3）線段的長為3或5．

【解析】

（1）由證明，得出，即可得出結(jié)論；

（2）由證明，得出，即可得出結(jié)論；

（3）①當(dāng)點(diǎn)在線段上時，點(diǎn)在線段上，由（2）可知：，求出，，即可得出答案；

②當(dāng)點(diǎn)在射線上時，點(diǎn)在線段的延長線上，同理可得：；即可得出答案．

（1）；理由如下：

四邊形是正方形，

，，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，

，

，

，，

，

又，，

，

在和中，，

，

，

，即；

故答案為：；

（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：

由題意得：，，

，

，

，，

，

四邊形是正方形，

，，

，

，

，

在和中，，

，

，

，即；

（3）分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)在線段上時，點(diǎn)在線段上，

由（2）可知：，

，

，，

；

②當(dāng)點(diǎn)在射線上時，點(diǎn)在線段的延長線上，如圖3所示：

同（2）可得：，

，

，，

，

；

綜上所述，線段的長為3或5．