Question

以a，b，c為三邊的直角三角形的周長的數(shù)值與面積的數(shù)值相等，且a，b，c為自然數(shù)，求證：關(guān)于x的方程x²-（a+b+c）x+abc=0無實數(shù)根．

Answer 1

證明：∵x²-（a+b+c）x+abc是關(guān)于a，b，c的輪換對稱式，
∴不妨設(shè)a，b為直角邊，c為斜邊，
則根據(jù)題意有：a²+b²=c²，a+b+c=ab，
∴a+b=ab-c，兩邊平方得：a²+2ab+b²=a²b²-abc+c²，
∴abc=a²b²-2ab，
又∵△=（a+b+c）²-4abc=a²b²-4（a²b²-2ab）=ab（32-3ab），
而a，b，c為自然數(shù)，
則a，b的最小值為3，4，即ab≥12，
∴32-3ab＜0，
即△＜0，
所以關(guān)于x的方程x²-（a+b+c）x+abc=0無實數(shù)根．
分析：要證明關(guān)于x的方程x²-（a+b+c）x+abc=0無實數(shù)根，只有證明△＜0即可．而△=（a+b+c）²-4abc，根據(jù)a，b，c為三邊的直角三角形的周長的數(shù)值與面積的數(shù)值相等（不妨設(shè)a，b為直角邊，c為斜邊），可以通過代數(shù)式變形得到abc=a²b²-2ab，把△變?yōu)椋╝+b+c）²-4abc=a²b²-4（a²b²-2ab）=ab（32-3ab），最后根據(jù)a，b，c為自然數(shù)，找到最小的直角邊即可證明△＜0．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式△=b²-4ac．當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．同時考查了代數(shù)式的變形能力、勾股定理以及三角形的面積公式．