Question

如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，點(diǎn)P、Q分別是BC邊和AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，QR⊥BC，垂足為R，設(shè)P、Ｑ同時(shí)運(yùn)動(dòng)，并且當(dāng)P運(yùn)動(dòng)4單位長(zhǎng)度時(shí)，Q運(yùn)動(dòng)5（1-x）單位長(zhǎng)度，是否存在x的值，使以P、Q、R為頂點(diǎn)的三角形與△ACP相似？若存在，求出所有x的值；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：存在x的值，使以P、Q、R為頂點(diǎn)的三角形與△ACP相似，BQ=5x，
由相似三角形求得BR=4x，QR=3x
①當(dāng)P在C、R之間時(shí)，PR=4-8x，若△PRQ∽△ACP，則PR∶AC=RQ∶CP，得，
∴x=，
若△QRP∽△ACP，則QR∶AC=RP∶CP，即x²+2x-1=0，
∴x₁=-1，x₂=--1（舍去）；
②當(dāng)P在B、R之間時(shí)，PR=8x-4
若△PRQ∽△ACP，則PR∶AC=RQ∶CP，得
∴x=，
若△QRP∽△ACP，則QR∶AC=RP∶CP，即x²-2x+1=0，
∴x₁=x₂=1（舍去），
綜上所述，存在x的值，x₁=-1，x₂=，x₃=。