Question

如圖，直線AE與以AB為直徑的⊙O相切于點A，點C、D在⊙O上，并分別位于AB的兩側，∠EAC=60°．
（1）求∠D的度數(shù)；
（2）當BC=4時，求劣弧AC的長．

Answer 1

分析：（1）由AE為圓O的切線，利用切線的性質得到BA與AE垂直，由∠EAC的度數(shù)求出∠BAC的度數(shù)，再由AB為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到∠ACB為直角，可得出∠B的度數(shù)，最后利用同弧所對的圓周角相等即可求出∠D的度數(shù)；
（2）連接OC，由OB=OC，且∠B為60°，得到三角形BOC為等邊三角形，得到OB=BC=4，∠BOC為60°，利用鄰補角定義得到∠AOC為120°，由半徑為4，利用弧長公式即可求出劣弧AC的長．

解答：解：（1）∵AE是⊙O的切線，
∴BA⊥AE，即∠BAE=90°，
∵∠EAC=60°，∴∠BAC=30°，
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，
∴∠B=∠ACB-∠BAC=60°，
∵∠B與∠D都是弧AC所對的圓周角，
∴∠D=∠B=60°；
（2）連接OC，
∵OB=OC，∠B=60°，
∴△OBC是等邊三角形．
∴OB=BC=4，∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧AC的長=

120•π•4

180

=

8

3

π．

點評：此題考查了切線的性質，以及弧長的計算，涉及的知識有：圓周角定理，直角三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，以及弧長公式，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．