Question

如圖，先把一矩形ABCD紙片對折，設(shè)折痕為MN，再把B點(diǎn)疊在折痕線上，得到△ABE．過B點(diǎn)折紙片使D點(diǎn)疊在直線AD上，得折痕PQ．
（1）求證：△PBE∽△QAB；
（2）你認(rèn)為△PBE和△BAE相似嗎？如果相似，給出證明；若不相似，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）△PBE和△QAB都是直角三角形，所以再證一對角相等即可．由∠ABE=90°得∠EBP+∠ABQ=90°，易證∠ABQ=∠PEB．得證．
（2）△PBE和△BAE都是直角三角形，利用（1）的結(jié)論，結(jié)合BP=BQ可證直角的兩邊對應(yīng)成比例，得證．
解答：證明：（1）∵∠PBE+∠ABQ=90°，∠PBE+∠PEB=90°，
∴∠ABQ=∠PEB．
在△PBE與△QAB中，
∵∠ABQ=∠PEB，∠BPE=∠AQB=90°，
∴△PBE∽△QAB．

（2）△PBE和△BAE相似．
∵△PBE∽△QAB，
∴=．
∵BQ=PB，
∴=．
又∵∠EPB=∠EBA=90°，
∴△PBE∽△BAE．
點(diǎn)評：此題把折疊問題與相似三角形結(jié)合起來，有一定難度．