Question

若方程x²-6x-k-1=0與x²-kx-7=0僅有一個公共的實數(shù)根，試求k的值和相同的根．

Answer 1

解：設(shè)方程x²-6x-k-1=0與x²-kx-7=0．
公共根為x₀，則x₀²-6x₀-k-1=0①
x₀²-kx₀-7=0②
①-②得（x₀²-6x₀-k-1）-（x₀²-kx₀-7）=0，
-6x₀+kx₀-k-1+7=0，
x₀（k-6）-（k-6）=0，
（k-6）（x₀-1）=0．
①若k≠6，則x₀=1．
當(dāng)x₀=1時，1²-6×1-k-1=0，
所以k=-6．
②若k=6，則x₀≠1．
方程x²-6x-6-1=0，
x²-6x-7=0．
所以（x-7）（x+1）=0，
即x₁=7，x₂=-1．
而x²-6x-7=0與上述方程是同一方程．
所以當(dāng)k=-6時，方程的公共根為x=1．
分析：首先設(shè)方程x²-6x-k-1=0與x²-kx-7=0的公共根，然后代入，分情況討論根與k的值．
點評：做這類題的關(guān)鍵是要設(shè)兩個方程有公共根，探求k與公共根x的數(shù)量關(guān)系再加以分類討論．