Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，AD與過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)垂直，垂足為點(diǎn)D，直線(xiàn)DC與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)P，弦CE平分∠ACB，交AB于點(diǎn)F，連接BE．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若tan∠ABC=

4

3

，BE=7

2

，求線(xiàn)段PC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得OC⊥CD，而AD⊥CD，則可判斷AD∥OC，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得∠1=∠3，加上∠2=∠3，則∠1=∠2；
（2）連結(jié)AE，如圖，根據(jù)圓周角定理，由AB是⊙O的直徑得到∠ACB=90°，∠AEB=90°，再證明△AEB為等腰直角三角形得到AB=

2

BE=14，在Rt△ACB中，利用tan∠ABC=

AC

BC

=

4

3

可計(jì)算出AC=

56

5

，BC=

42

5

，接著證明Rt△ADC∽R(shí)t△ACB，利用相似比可計(jì)算出AD=

224

25

，DC=

168

25

，然后證明△POC∽△PDA，則利用相似比可計(jì)算出PC的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵CD為⊙O的切線(xiàn)，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠1=∠3，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：連結(jié)AE，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，∠AEB=90°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE=45°，
∴∠BAE=∠ABE=45°，
∴△AEB為等腰直角三角形，
∴AB=

2

BE=

2

×7

2

=14，
在Rt△ACB中，tan∠ABC=

AC

BC

=

4

3

，設(shè)AC=4x，BC=3x，
∴AB=

AC2+BC2

=5x，
∴5x=14，解得x=

14

5

，
∴AC=

56

5

，BC=

42

5

，
∵∠1=∠2，
∴Rt△ADC∽R(shí)t△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

=

DC

BC

，即

AD

56 5

=

56 5

14

=

DC

42 5

，
∴AD=

224

25

，DC=

168

25

，
∵OC∥AD，
∴△POC∽△PDA，
∴

PC

PD

=

OC

AD

，即

PC

PC+ 168 25

=

7

224 25

，
∴PC=

168

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線(xiàn)的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線(xiàn)連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．