Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+2（a＜0）與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（2，0），與y軸交于點C．

（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；

（2）如圖1，連接BC，點D是直線BC上方拋物線上的點，連接OD、CD，OD交BC于點F，當S△COF：S△CDF＝2：1時，求點D的坐標；

（3）如圖2，點E的坐標為（0，﹣1），在拋物線上是否存在點P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，請直接寫出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）D（1，2）；（3）（）或（﹣）．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求解析式即可得到答案，

（2）過點D作DH∥y軸交BC于點H，交x軸于點G，利用S△COF：S△CDF＝2：1得到OF：DF＝2：1，利用相似三角形的性質可得答案，

（3）分情況討論：①當點P在x軸上方時，在y軸上取點G（1，0），連接BG，則∠OBG＝∠OBE，過點B作直線PB交拋物線于點P，交y軸于點M，使∠GBM＝∠GBO，則∠OBP＝2∠OBE，然后求解的解析式，建立方程組求解即可，

②當點P在x軸下方時，作點M（0，）關于x軸的對稱點N（0，），求解的解析式，建立方程組求解即可．

解：（1）∵A（﹣1，0），B（2，0），

∴把A（﹣1，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx+2得，

解得，

∴該拋物線的函數(shù)解析式為y＝﹣x2+x+2；

（2）如圖1，過點D作DH∥y軸交BC于點H，交x軸于點G，

∵拋物線y＝﹣x2+x+2與y軸交于點C，

∴C（0，2），

設直線BC解析式為y＝kx+b，

則解得

∴直線BC解析式為y＝﹣x+2，

∵S△COF：S△CDF＝2：1，

∴OF：DF＝2：1，

∵DH∥OC，

∴△OFC∽△DFH，

∴

∴OC＝2DH，

設D（a，﹣a2+a+2），則H（a，﹣a+2），

∴DH＝﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）＝﹣a2+2a，

∴2＝2（﹣a2+2a），

解得a＝1，

∴D（1，2）．

（3）①當點P在x軸上方時，

在y軸上取點G（1，0），連接BG，則∠OBG＝∠OBE，過點B作直線PB交拋物線于點P，交y軸于點M，使∠GBM＝∠GBO，

則∠OBP＝2∠OBE，

過點G作GH⊥BM，

∵E（0，﹣1），

∴OE＝OG＝GH＝1，

設MH＝x，則MG＝，

在Rt△OBM中，OB2+OM2＝MB2，

∴（+1）2+4＝（x+2）2，

解得：x＝，（舍去）

故MG＝＝

∴OM＝OG+MG＝

∴點M（0，），

將點B（2，0）、M（0，）的坐標代入一次函數(shù)表達式y＝mx+n，

解得： ，

∴直線BM的表達式為：

∴

解得：或x＝2（舍去），

∴點P；

②當點P在x軸下方時，

作點M（0，）關于x軸的對稱點N（0，），

同理可得：

直線BN的解析式為

∴

解得，或x＝2（舍去），

∴點P；

綜合以上可得，點P的坐標為或．