【題目】已知四邊形ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3.
(1)如圖1,若P為AB邊上一點(diǎn)以PD,PC為邊作平行四邊形PCQD,請(qǐng)問(wèn)對(duì)角線PQ的長(zhǎng)是否存在最小值?如果存在,請(qǐng)求出最小值,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)若P為AB邊上任意一點(diǎn),延長(zhǎng)PD到E,使DE=PD,再以PE,PC為邊作平行四邊形PCQE,請(qǐng)問(wèn)對(duì)角線PQ的長(zhǎng)是否也存在最小值?如果存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出最小值,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)如圖2,若P為直線DC上任意一點(diǎn),延長(zhǎng)PA到E,使AE=AP,以PE、PB為邊作平行四邊形PBQE,請(qǐng)問(wèn)對(duì)角線PQ的長(zhǎng)是否存在最小值?如果存在,請(qǐng)求出最小值,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)存在,理由見(jiàn)解析,當(dāng)PQ⊥AB時(shí),PQ的長(zhǎng)最小,即為4.
(2)存在,理由見(jiàn)解析, 當(dāng)PQ⊥AB時(shí),PQ的長(zhǎng)最小,即為5.
(3)存在,理由見(jiàn)解析,最小值為
【解析】試題分析:(1)在平行四邊形PCQD中,設(shè)對(duì)角線PQ與DC相交于點(diǎn)G,則G是DC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC,交BC的延長(zhǎng)線于H,使得Rt△ADP≌Rt△HCQ,進(jìn)而求出最小值;
(2)設(shè)PQ與DC相交于點(diǎn)G,作QH⊥BC,交BC的延長(zhǎng)線于H,可得Rt△ADP∽R(shí)t△HCQ,進(jìn)而求出最小值;
(3)設(shè)PQ與AB相交于點(diǎn)G,由平行線分線段成比例定理可得.作QH∥PD,交CB的延長(zhǎng)線于H,過(guò)點(diǎn)C作CK⊥CD,交QH的延長(zhǎng)線于K,可證△ADP∽△BHQ,
從而.過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于M,則四邊形ABND是矩形,可求∠DCM=45°,從而求出CD、CK的值,可知當(dāng)D與P重合時(shí)的PQ長(zhǎng)就是PQ的最小值.
解:(1)存在,理由如下:
如圖2,在平行四邊形PCQD中,設(shè)對(duì)角線PQ與DC相交于點(diǎn)G,
則G是DC的中點(diǎn),
過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC,交BC的延長(zhǎng)線于H,
∵AD∥BC,AB⊥BC,
∴AD⊥AB,∠ADC=∠DCH,
即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH,
∵PD∥CQ,
∴∠PDC=∠DCQ,
∴∠ADP=∠QCH,
在△ADP和△HCQ中,,
∴△ADP≌△HCQ(AAS),
∴AD=HC,
∵AD=1,BC=3,
∴BH=4,
∴當(dāng)PQ⊥AB時(shí),PQ的長(zhǎng)最小,即為4.
(2)存在,理由如下:
如圖3,設(shè)PQ與DC相交于點(diǎn)G,
∵四邊形PCQE是平行四邊形,
∴PE∥CQ,PE=CQ,
∴,
∵PD=DE,
∴CQ=2PD,
∴=,
∴G是DC上一定點(diǎn),
作QH⊥BC,交BC的延長(zhǎng)線于H,
同(2)得:∠ADP=∠QCH,
∴Rt△ADP∽Rt△HCQ,
∴=,
∴CH=2,
∴BH=BC+CH=3+2=5,
∴當(dāng)PQ⊥AB時(shí),PQ的長(zhǎng)最小,即為5.
(3)存在,理由如下:
如圖4,設(shè)PQ與AB相交于點(diǎn)G,
∵四邊形PBQE是平行四邊形,
∴PE∥BQ,PE=BQ,
∴,
∵AE=PA,
∴BQ=2PA,
∴=
作QH∥PD,交CB的延長(zhǎng)線于H,過(guò)點(diǎn)C作CK⊥CD,交QH的延長(zhǎng)線于K,
∵AD∥BC,AB⊥BC,
∴∠ADP=∠QHC,∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°,∠PAG=∠QBG,
∴∠QBH=∠PAD,
∴△ADP∽△BHQ,
∴=,
∵AD=1,
∴BH=2,
∴CH=BH+BC=2+3=5,
過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于M,
則四邊形ABND是矩形,
∴BM=AD=1,DM=AB=2
∴CM=BC﹣BM=3﹣1=2=DM,
∴∠DCM=45°,
∴∠KCH=45°,
∴CK=CHcos45°=5×=,
在Rt△CDM中,CD=2,
∴CK>CD,
∴當(dāng)PQ⊥CD時(shí),PQ的長(zhǎng)最小,但是,P點(diǎn)已經(jīng)不在CD上了,到延長(zhǎng)線上了,
∴當(dāng)D與P重合時(shí)的PQ長(zhǎng)就是PQ的最小值,
此時(shí)Q與H重合,PQ=HD===
∴最小值為
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,AD平分∠BAC,過(guò)A,C,D三點(diǎn)的圓與斜邊AB交于點(diǎn)E,連接DE.
(1)求證:AC=AE;
(2)若AC=6,CB=8,求△ACD的外接圓的直徑.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的位置如圖所示(每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形).
(1)將△ABC沿x軸方向向左平移6個(gè)單位,畫(huà)出平移后得到的△A1B1C1;
(2)將△ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后得到的△AB2C2 , 并直接寫(xiě)出點(diǎn)B2、C2的坐標(biāo).
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【題目】小明從如圖所示的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象中,觀察得出了下面五條信息:①abc>0;②a﹣b+c<0;③b+2c>0; ④a﹣2b+4c>0;⑤2a=3b
你認(rèn)為其中正確信息的個(gè)數(shù)有( )
A.2個(gè)
B.3個(gè)
C.4個(gè)
D.5個(gè)
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【題目】某超市規(guī)定:凡一次購(gòu)買(mǎi)大米160kg以上可以按原價(jià)打折出售,購(gòu)買(mǎi)160kg(包括160kg)以下只能按原價(jià)出售.小明家到超市買(mǎi)大米,原計(jì)劃買(mǎi)的大米,只能按原價(jià)付款,需要600元;若多買(mǎi)40kg,則按打折價(jià)格付款,恰巧需要也是600元.
(1)求小明家原計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)大米數(shù)量x(千克)的范圍;
(2)若按原價(jià)購(gòu)買(mǎi)4kg與打折價(jià)購(gòu)買(mǎi)5kg的款相同,那么原計(jì)劃小明家購(gòu)買(mǎi)多少大米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,數(shù)軸的單位長(zhǎng)度為1,如果P,Q表示的數(shù)互為相反數(shù),那么圖中的4個(gè)點(diǎn)中,哪一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)的平方值最大( 。
A. P B. R C. Q D. T
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【題目】在一個(gè)蠟燭燃燒試驗(yàn)中,甲、乙兩根蠟燭燃燒時(shí)剩余部分的高度y(cm)與燃燒時(shí)間x(h)的關(guān)系如圖所示,請(qǐng)根據(jù)圖像提供的信息解答下列問(wèn)題.
(1)甲、乙兩根蠟燭燃燒前的高度分別是____________,從點(diǎn)燃到燃盡所用的時(shí)間分別是__________;
(2)分別求甲、乙兩根蠟燭燃燒時(shí),y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;
(3)當(dāng)x為何值時(shí),甲、乙兩根蠟燭在燃燒過(guò)程中的高度相等?
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【題目】(7分)如圖所示,O是直線AB上一點(diǎn),∠AOC=∠BOC,OC是∠AOD的平分線.
(1)求∠COD的度數(shù).
(2)判斷OD與AB的位置關(guān)系,并說(shuō)出理由.
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(2)當(dāng)b為何值時(shí),△OFC是等腰三角形;
(3)當(dāng)FC平分∠EFB時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo).
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