Question

如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線．動點(diǎn)D在直線AM上時，以CD為一邊且在CD的下方作等邊△CDE，連接BE．
（1）填空：當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到點(diǎn)M時，∠ACE=______度；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上（點(diǎn)D不運(yùn)動到點(diǎn)A）時，求證：△ADC≌△BEC；
（3）若AB=8，以點(diǎn)C為圓心，以5為半徑作⊙C與直線BE相交于點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)，在點(diǎn)D運(yùn)動的過程中（點(diǎn)D與點(diǎn)A重合除外），試求PQ的長．

Answer 1

（1）解：120；

（2）證明：∵△ABC與△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE（SAS）

（3）解：①當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上（不與點(diǎn)A重合）時（圖1），

由（2）可知△ACD≌△BCE，
則∠CBE=∠CAD=30°，作CH⊥BE于點(diǎn)H，
則PQ=2HQ，連接CQ，則CQ=5．
在Rt△CBH中，∠CBH=30°，BC=AB=8，則．
在Rt△CHQ中，由勾股定理得：，
則PQ=2HQ=6
②當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長線上時（圖2），
∵△ABC與△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠CEB=∠CDA=30°
同理可得：PQ=6．
③當(dāng)點(diǎn)D在線段MA的延長線上時（圖3），
∵△ABC與△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠CBE=∠CAD
∵∠CAM=30°
∴∠CBE=∠CAD=150°
∴∠CBQ=30°
同理可得：PQ=6
綜上所述，PQ的長是6．
分析：（1）三角形內(nèi)角和是180°，等邊三角形的內(nèi)角都相等，所以，其中一個內(nèi)角的度數(shù)是180°÷3，結(jié)合圖形可求得∠ACB=∠DCE=60°，從而可得∠ACE的度數(shù)；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS求證△ADC≌△BEC；
（3）①當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上（不與點(diǎn)A重合）時，作Rt△CBH，在直角三角形中，利用勾股定理求得；②當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長線上時，求證△ACD≌△BCE，然后求值；③當(dāng)點(diǎn)D在線段MA的延長線上時，求證△ACD≌△BCE后求值．
點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA無法證明三角形全等．