Question

已知拋物線y=-x²+2mx-m²-m+2．
（1）若拋物線與x軸有兩個交點，與y軸交于點（0，-4），求出這條拋物線的解析式及頂點C的坐標；
（2）試說明對任何實數m，拋物線的頂點都在某一次函數的圖象L上，并求出L的解析式；
（3）若（2）中直線L交x軸于點A，試在y軸求一點M，使|MC-MA|的值最大（C為（1）中拋物線的頂點）；
（4）若（1）中所求拋物線的對稱軸與x軸交于點B．那么在該對稱軸上是否存在點P，使⊙P與直線L和x軸同時相切．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將（0，-4）代入二次函數解析式即可得出m的值，再利用二次函數圖象與x軸交點個數判斷方法得出m的取值范圍，即可得出答案；
（2）由y=-（x-m）²-m+2 知頂點為（m，-m+2），分別取m=0，2得點（0，2）和（2，0）求出過這兩點的直線解析式，利用當x=m時，y=-m+2，得出對任何實數m，拋物線的頂點都在一次函數的圖象L上；
（3）根據A關于y軸對稱的點D（-2，0），利用C為（1）中拋物線的頂點，求出直線CD的解析式，進而得出|NC-NA|=|NC-ND|＜CD=|MC-MA|，得出M點坐標；
（4）利用切線的性質以及勾股定理和等腰直角三角形的性質求出即可．

解答：解：（1）∵拋物線與y軸交于點（0，-4），
∴將（0，-4）代入二次函數解析式得：
-m²-m+2=-4，
∴m²+m-6=0，
解得：m₁=2，m₂=-3，
∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴△=（2m）²-4（m²+m-2）=-4m+8=-4m+8＞0．
∴m＜2．
故取m=-3．
∴拋物線的解析式為：
y=-x²-6x-4，
=-（x²+6x）-4，
=-（x+3） ²+5，
∴頂點（-3，5）；

（2）由y=-（x-m）²-m+2 知頂點為（m，-m+2）．
分別取m=0，2得點（0，2）和（2，0）過這兩點的直線解析式為：設為y=kx+b，
∴

b=2 2k+b=0

，
解得：

b=2 k=-1

，
∴直線解析式為：y=-x+2，
當x=m時，y=-m+2，
∴對任何實數m，拋物線的頂點都在某一次函數的圖象L上，
L的解析式為：y=-x+2；

（3）A關于y軸對稱的點D（-2，0），
∵C為（1）中拋物線的頂點，
∴設直線CD的解析式為：y=kx+b，
∴

-2k+b=0 -3k+b=5

，
解得：

k=-5 b=-10

，
∴直線CD的解析式為：y=-5x-10，
∴圖象與y軸的交點（0，-10）即為所求的點M．
設N是y軸上異于M的一點，則△NDC中，
|NC-NA|=|NC-ND|＜CD=|MC-MA|．
∴M（0，-10）時，|MC-MA|的值最大；

（4）∵C點坐標為：（-3，5），A點坐標為：（2，0），B點坐標為：（-3，0），
∴AB=BC=5，∵∠CBA=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵當⊙P₁與直線L相切與點Q₁，連接Q₁P₁，
∴Q₁P₁⊥AC，
∴∠P₁CQ₁=∠CP₁Q₁=45°，
∴CQ₁=Q₁P₁，
設P₁的坐標為：（-3，y），
∴CP₁=5-y，
P₁Q₁=CQ₁=y，
∵CP 12=CQ12+P1Q1 2，
∴（5-y）²=y²+y²，
整理得出；y²+10y-25=0，
解得：y₁=5

2

-5，y₂=-5

2

-5，
∴滿足條件的點有兩個，即（-3，5

2

-5）和（-3，-5

2

-5）（如圖）．

點評：此題主要考查了待定系數法求一次函數解析式以及二次函數的綜合應用和切線的性質定理等知識，利用數形結合得出∠P₁CQ₁=∠CP₁Q₁=45°，以及CQ₁=Q₁P₁是解決問題的關鍵．