Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4），連接AB、BC、OC

（1）求證四邊形OABC是菱形；

（2）直線l過(guò)點(diǎn)C且與y軸平行，將直線l沿x軸正方向平移，平移后的直線交x軸于點(diǎn)P．

①當(dāng)OP：PA＝3：2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②點(diǎn)Q在直線1上，在直線l平移過(guò)程中，當(dāng)△COQ是等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，0）或（15，0）；②點(diǎn)Q坐標(biāo)為：（﹣4，3），（7，1），（，）

【解析】

（1）根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可求AO=BC=CO=AB=5，即可證四邊形OABC是菱形；
（2）①分點(diǎn)P在線段OA上，在點(diǎn)A右側(cè)兩種情況討論，根據(jù)題意可求OP的長(zhǎng)，即可求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②分三種情況討論，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，可求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

證明：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4），O點(diǎn)坐標(biāo)（0，0）

∴AO＝BC＝5，CO＝＝5，AB＝ ＝5

∴AO＝BC＝CO＝AB＝5

∴四邊形ABCO是菱形

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上，

∵OP：PA＝3：2，OP+AP＝5

∴OP＝3，PA＝2

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，0）

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)，

∵OP：PA＝3：2，OP﹣AP＝OA＝5

∴OP＝15，AP＝10

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（15，0）

②如圖，當(dāng)∠COQ＝90°，OC＝OQ時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OA于E，則OE＝3，CE＝4，

∵∠COE+∠POQ＝90°，∠COE+∠OCE＝90°，

∴∠OCE＝∠POQ，且OC＝OQ，∠CEO＝∠OPQ

∴△COE≌△QOP（AAS）

∴PQ＝OE＝3，OP＝CE＝4，

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)（﹣4，3）

如圖，當(dāng)∠OCQ＝90°，OC＝CQ時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OA于點(diǎn)E，則CE＝4，OE＝3，

過(guò)點(diǎn)Q作FQ⊥CE于點(diǎn)F，

∵∠OCE+∠ECQ＝90°，∠ECQ+∠CQF＝90°，

∴∠OCE＝∠CQF，且OC＝CQ，∠OEC＝∠CFQ＝90°，

∴△OEC≌△CFQ（AAS）

∴CF＝OE＝3，FQ＝CE＝4，

∴EF＝1，

∵QF⊥CE，CE⊥AO，PQ⊥OA

∴四邊形EPQF是矩形

∴EP＝FQ＝4

即OP＝7

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（7，1）

如圖，若∠CQO＝90°，CQ＝OQ時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OA于點(diǎn)E，則CE＝4，OE＝3，

∵∠CQH+∠OQP＝90°，∠PQO+∠QOP＝90°，

∴∠CQH＝∠QOP，且OQ＝CQ，∠CHQ＝∠OPQ＝90°，

∴△OPQ≌△QHC（AAS）

∴OP＝HQ，CH＝PQ，

∵CE⊥OA，PH⊥BC，PH⊥OA

∴四邊形CEPH是矩形，

∴EP＝CH＝PQ，HP＝CE＝4，

∵HQ+PQ＝HP＝4＝OP+EP，OP﹣EP＝OE＝3，

∴OP＝，EP＝PQ＝

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)（）

綜上所述：點(diǎn)Q坐標(biāo)為：（﹣4，3），（7，1），（）