Question

【題目】如圖，點(diǎn)D為△ABC的AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，△ADC為正三角形，給出下列結(jié)論，①CB＝2CE，②tan∠B＝，③∠ECD＝∠DCB，④若AC＝2，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到AC、BC邊的距離分別為d1，d2，則d12+d22的最小值是3．其中正確的結(jié)論是____(填寫(xiě)正確結(jié)論的序號(hào))．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)得到AD＝BD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD＝CD，∠ADC=∠ACD=60°，CE⊥AB，∠DCE＝30°，根據(jù)等量代換有CD＝BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠DCB＝30°，即可判斷①②③，根據(jù)勾股定理可知d12+d22＝MN2＝CP2，根據(jù)垂線段最短，則當(dāng)CP⊥AB時(shí)，d12+d22的值最小，即可判斷④.

∵D是AB中點(diǎn)

∴AD＝BD

∵△ACD是等邊三角形，E是AD中點(diǎn)

∴AD＝CD，∠ADC=∠ACD =60°，CE⊥AB，∠DCE＝30°

∴CD＝BD

∴∠B＝∠DCB＝30°，且∠DCE＝30°，CE⊥AB

∴∠ECD＝∠DCB，BC＝2CE，tan∠B＝

故①③正確，②錯(cuò)誤

∵∠DCB＝30°，∠ACD＝60°

∴∠ACB＝90°

若AC＝2，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到AC、BC邊的距離分別為d1，d2，

∴四邊形PMCN是矩形

∴MN＝CP

∵d12+d22＝MN2＝CP2

∴當(dāng)CP為最小值，d12+d22的值最小

∴根據(jù)垂線段最短，則當(dāng)CP⊥AB時(shí)，d12+d22的值最小

此時(shí)：∠CAB＝60°，AC＝2，CP⊥AB

∴CP＝,

∴d12+d22＝MN2＝CP2＝3

即d12+d22的最小值為3

故④正確

故答案為①③④