Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊長為2cm，點A、C別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A、B，最低點為M，且S_△AMB＝.

（1）求此拋物線的解析式，并說明這條拋物線是由拋物線y=ax²怎樣平移得到的；

（2）如果點P由點A開始沿著射線AB以2cm/s的速度移動，同時點Q由點B開始沿BC邊以1cm/s的速度向點C移動，當(dāng)其中一點到達終點時運動結(jié)束；

①在運動過程中，P、Q兩點間的距離是否存在最小值，如果存在，請求出它的最小值；

②當(dāng)PQ取得最小值時，在拋物線上是否存在點R，使得以P、B、Q、R為頂點的四邊形是梯形? 如果存在，求出R點的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）拋物線的解析式為是由拋物線向右1個單位長度，向下個單位長度得到的；（2）①；②R（，-）

【解析】

試題分析：（1）由題意可得拋物線的對稱軸為，再根據(jù)△AMB的面積即可求得拋物線頂點的縱坐標(biāo)，再設(shè)出頂點式，最后把A點的只能代入即可得到結(jié)果；

（2）①先求出關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果；②分AB∥QR與BR∥PQ兩種情況，根據(jù)梯形的性質(zhì)分析即可.

（1）由題意得拋物線的對稱軸為

，

則拋物線頂點的縱坐標(biāo)為

∴設(shè)拋物線解析式為

∵圖象過點A（0，-2）

∴，

∴拋物線的解析式為

這條拋物線是由拋物線向右1個單位長度，向下個單位長度得到的；

（2）①PQ²=（2-2t）²+t²=5(t-)²+

存在，當(dāng)t=時，最小值；

②1⁰當(dāng)AB∥QR時

y=-時，(x-1)²-=-

x₁=或x₂=

當(dāng)x₁=時，說明P、B、Q、R為頂點的四邊形是梯形

當(dāng)x₂=時，PBRQ為平行四邊形，舍

2⁰當(dāng)BR∥PQ時，與x₂=的情況相同，故此時不存在梯形

∴R（，-）.

考點：二次函數(shù)的綜合題

點評：本題知識點較多，綜合性強，難度較大，一般是中考壓軸題，需要學(xué)生熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用.