Question

如左圖：直線y=kx+4k（k≠0）交x軸于點A，交y軸于點C，點M（2，m）為直線AC上一點，過點M的直線BD交x軸于點B，交y軸于點D．
（1）求的值（用含有k的式子表示．）；
（2）若S_△BOM=3S_△DOM，且k為方程（k+7）（k+5）-（k+6）（k+5）=的根，求直線BD的解析式．
（3）如右圖，在（2）的條件下，P為線段OD之間的動點（點P不與點O和點D重合），OE上AP于E，DF上AP于F，下列兩個結論：①值不變；②值不變，請你判斷其中哪一個結論是正確的，并說明理由并求出其值．
．

Answer 1

（1）解：當x=0時，y=4k，
當y=0時，x=-4，
∴A（-4，0）C（0，4k），
由圖象可知k＜0
∴OA=4，OC=-4k，
∴，
答：的值是-k．

（2）解：∵
解得：，
∴直線AC的解析式為：
當x=2時，y=-3，
∴M（2，-3），
過點M作ME⊥y軸于E
∴ME=2
∵S_△BOM=3S_△DOM
∴S_△BOD=4S_△DOM
又∵
∴
∴OB=4ME
∴OB=8
∴B（8，0），
設直線BD的解析式為：y=kx+b，
把B（8，0），M（2，-3）代入得：
則有，
解得，
∴直線BD的解析式為：，
答：直線BD的解析式為：．

（3）解：②值不變．理由如下：
過點O作OH⊥DF交DF的延長線于H，連接EH，
∵DF⊥AP
∴∠DFP=∠AOP=90°
又∠DPF=∠APO
∴∠ODH=∠OAE
∵點D在直線
∴D（0，-4）
∴OA=OD=4
又∵∠OHD=∠OEA=90°
∴△ODH≌△OAE（AAS），
∴AE=DH，OE=OH，∠HOD=∠EOA
∴∠EOH=∠HOD+∠EOD=∠EOA+∠EOD=90°，
∴∠OEH=45°
∴∠HEF=45°=∠FHE
∴FE=FH
∴等腰Rt△OHE≌等腰Rt△FHE
∴OE=OH=FE=HF
∴，
分析：（1）把x=0和y=0分別代入解析式即可求出點A、C的坐標，即可得到答案；
（2）解方程（k+7）（k+5）-（k+6）（k+5）=，求出k的值，根據(jù)已知S_△BOM=3S_△DOM，能求出B的坐標，設直線BD的解析式為：y=kx+b，代入B、M的坐標即可得到答案；
（3）②不變，過點O作OH⊥DF交DF的延長線于H，連接EH，根據(jù)解析式求出D的坐標，根據(jù)AAS證△ODH≌△OAE，得到AE=DH，OE=OH，∠HOD=∠EOA，再證等腰Rt△OH≌等腰Rt△FHE，即可推出OE=OH=FE=HF，代入②即可求出答案．
點評：本題主要考查對一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，全等三角形的性質和判定等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵，此題是一個綜合性很強的題目，有一定的難度，但題型較好．