Question

如左圖：直線y=kx+4k（k≠0）交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)M（2，m）為直線AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線BD交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)D．
（1）求

OC

OA

的值（用含有k的式子表示．）；
（2）若S_△BOM=3S_△DOM，且k為方程（k+7）（k+5）-（k+6）（k+5）=

9

2

的根，求直線BD的解析式．
（3）如右圖，在（2）的條件下，P為線段OD之間的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)O和點(diǎn)D重合），OE⊥AP于E，DF⊥AP于F，下列兩個(gè)結(jié)論：①

AE+OE

DF

值不變；②

AE-OE

DF

值不變，請你判斷其中哪一個(gè)結(jié)論是正確的，并說明理由并求出其值．
．

Answer 1

分析：（1）把x=0和y=0分別代入解析式即可求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，即可得到答案；
（2）解方程（k+7）（k+5）-（k+6）（k+5）=

9

2

，求出k的值，根據(jù)已知S_△BOM=3S_△DOM，能求出B的坐標(biāo)，設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b，代入B、M的坐標(biāo)即可得到答案；
（3）②不變，過點(diǎn)O作OH⊥DF交DF的延長線于H，連接EH，根據(jù)解析式求出D的坐標(biāo)，根據(jù)AAS證△ODH≌△OAE，得到AE=DH，OE=OH，∠HOD=∠EOA，再證等腰Rt△OH≌等腰Rt△FHE，即可推出OE=OH=FE=HF，代入②即可求出答案．

解答：（1）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=4k，
當(dāng)y=0時(shí)，x=-4，
∴A（-4，0）C（0，4k），
由圖象可知k＜0
∴OA=4，OC=-4k，
∴

OC

OA

=

-4k

4

=-k，
答：

OC

OA

的值是-k．

（2）解：∵(k+7)(k+5)-(k+6)(k+5)=

9

2

解得：k=-

1

2

，
∴直線AC的解析式為：y=-

1

2

x-2
當(dāng)x=2時(shí)，y=-3，
∴M（2，-3），
過點(diǎn)M作ME⊥y軸于E
∴ME=2
∵S_△BOM=3S_△DOM
∴S_△BOD=4S_△DOM
又∵S△BOD=

OD•OB

2

S△DOM=

OD•ME

2

∴

OD•OB

2

=

OD•ME

2

×4
∴OB=4ME
∴OB=8
∴B（8，0），
設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b，
把B（8，0），M（2，-3）代入得：
則有

0=8k+b -3=2k+b

，
解得

k= 1 2 b=-4

，
∴直線BD的解析式為：y=

1

2

x-4，
答：直線BD的解析式為：y=

1

2

x-4．

（3）解：②

AE-OE

DF

值不變．理由如下：
過點(diǎn)O作OH⊥DF交DF的延長線于H，連接EH，
∵DF⊥AP
∴∠DFP=∠AOP=90°
又∠DPF=∠APO
∴∠ODH=∠OAE
∵點(diǎn)D在直線y=

1

2

x-4
∴D（0，-4）
∴OA=OD=4
又∵∠OHD=∠OEA=90°
∴△ODH≌△OAE（AAS），
∴AE=DH，OE=OH，∠HOD=∠EOA
∴∠EOH=∠HOD+∠EOD=∠EOA+∠EOD=90°，
∴∠OEH=45°
∴∠HEF=45°=∠FHE
∴FE=FH
∴等腰Rt△OHE≌等腰Rt△FHE
∴OE=OH=FE=HF
∴

AE-OE

DF

=

DH-HF

DF

=1，

點(diǎn)評：本題主要考查對一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，此題是一個(gè)綜合性很強(qiáng)的題目，有一定的難度，但題型較好．