Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b）（b＞0）． P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PC⊥x軸，垂足為C．記點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P'（點(diǎn) P'不在y軸上），連接P P'，P'A，P'C．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a．
（1）當(dāng)b=3時(shí)，求直線AB的解析式；
（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)P'的坐標(biāo)是（-1，m），求m的值；
（3）若點(diǎn)P在第一象限，是否存在a，使△P'CA為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+3，
把x=-4，y=0代入得：-4k+3=0，
∴k=，
∴直線的解析式是：y=x+3，
（2）由已知得點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（-1，m），點(diǎn)P（1，m），
∴m=×1+3=；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，
①若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如圖1）
過點(diǎn)P′作P′H⊥x軸于點(diǎn)H．
∴PP′=CH=AH=P′H=AC．
∴2a=（a+4），
∴a=，
②若∠P′AC=90°，P′A=AC，
則PP′=AC，
∴2a=a+4，
∴a=4，
③若∠P′CA=90°，
則點(diǎn)P′，P都在第一象限內(nèi)，這與條件矛盾．
∴△P′CA不可能是以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．
∴所有滿足條件的a的值為a=4或．
分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）把（-1，m）代入函數(shù)解析式即可求得m的值；可以證明△PP′D∽△ACD，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求解；
（3）點(diǎn)P在不同的象限，若使△P'CA為等腰直角三角則∠AP′C=90°或∠P′AC=90°或∠P′CA=90°就三種情況分別討論求出出所有滿足要求的a的值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意的是（3）中，要根據(jù)P點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類求解．