Question

如圖，已知點D為等腰直角△ABC內(nèi)一點，∠BAD=∠ABD=30°，E為AD延長線上的一點，且CE=CA．
（1）求證：△ADC△BDC；
（2）求證：DE平分∠BDC；
（3）若點M在DE上，且DC=DM，求證：ME=BD．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：（1）證明BD=AD，運用SSS定理即可證明△BDC≌△ADC；
（2）通過△ACD≌△BCD，求出∠ADC=∠BDC=120°，進而證明∠BDE=∠CDE=60即可解決問題；
（3）連接MC，先證明△MDC是等邊三角形，進而證明△ADC≌△EMC即可解決問題．

解答：證明（10
∵∠BAD=∠ABD=30°
∴BD=AD
在△BDC與△ADC中，

BC=AC BD=AD DC=DC

，
∴△BDC≌△ADC（SSS）．
（2）在等腰直角△ABC中，
∵∠BAC=∠ABC=45°，∠BAD=∠ABD=30°，
∴∠CAD=∠CBD=45°-30°=15°；
∵△ACD≌△BCD，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠ADC=∠BDC=180°-15°-45°=120°，
∠ADB=360°-120°-120°=120°，
∴∠BDE=∠CDE=180°-120°=60°，
即∠BDM=∠EDC，
∴DE平分∠BDC．
（3）如圖，連接MC，
∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等邊三角形，
∴CM=CD． 
又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，
∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，
∴∠EMC=∠ADC． 
在△ADC與△EMC中，

∠ADC=∠EMC ∠CAD=∠CEB CD=CM

，
∴△ADC≌△EMC（AAS），
∴ME=AD=DB，
即ME=BD．

點評：該命題以三角形為載體，以考查等腰直角三角形、等邊三角形的判定、全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用等知識點為核心構(gòu)造而成；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．