Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F分別在AB、AC上，AD交EF于點(diǎn)H．

（1）求證：；

（2）設(shè)EF=x，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EFPQ的面積最大？并求出最大面積；

（3）當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí)，該矩形EFPQ以每秒1個(gè)單位的速度沿射線DA勻速向上運(yùn)動(dòng)（當(dāng)矩形的邊PQ到達(dá)A點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）由相似三角形，列出比例關(guān)系式，即可證明．

（2）首先求出矩形EFPQ面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)求其最大面積．

（3）本問(wèn)是運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題，弄清矩形EFPQ的運(yùn)動(dòng)過(guò)程：

當(dāng)0≤t≤2時(shí)，如答圖①所示，此時(shí)重疊部分是一個(gè)矩形和一個(gè)梯形；

當(dāng)2＜t≤4時(shí)，如答圖②所示，此時(shí)重疊部分是一個(gè)三角形．

解：（1）證明：∵矩形EFPQ，∴EF∥BC．

∴△AHF∽△ADC，∴．

∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴.

∴．

（2）∵∠B=45°，∴BD=AD=4，∴CD=BC﹣BD=5﹣4=1．

∵EF∥BC，∴△AEH∽△ABD，∴．

∵EF∥BC，∴△AFH∽△ACD，∴．

∴，即，∴EH=4HF．

已知EF=x，則EH=．

∵∠B=45°，∴EQ=BQ=BD﹣QD=BD﹣EH=4﹣．

，

∴當(dāng)x=時(shí)，矩形EFPQ的面積最大，最大面積為5．

（3）由（2）可知，當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí)，矩形的長(zhǎng)為，寬為．

在矩形EFPQ沿射線AD的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中：

（I）當(dāng)0≤t≤2時(shí)，如答圖①所示，

設(shè)矩形與AB、AC分別交于點(diǎn)K、N，與AD分別交于點(diǎn)H1，D1，此時(shí)DD1=t，H1D1=2，

∴HD1=HD﹣DD1=2﹣t，HH1=H1D1﹣HD1=t，AH1=AH﹣HH1=2﹣t．

∵KN∥EF，∴，即．

解得．

．

（II）當(dāng)2＜t≤4時(shí)，如答圖②所示，

設(shè)矩形與AB、AC分別交于點(diǎn)K、N，與AD交于點(diǎn)D2．此時(shí)DD2=t，AD2=AD﹣DD2=4﹣t．

∵KN∥EF，∴，即．

解得．

．

綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：．