Question

已知：如圖，拋物線（）與軸交于點(diǎn)( 0，4) ，與軸交于點(diǎn)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）.

(1) 求該拋物線的解析式；
(2) 點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作∥，交于點(diǎn)，連接. 當(dāng)的面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若平行于軸的動(dòng)直線與該拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）. 問: 是否存在這樣的直線，使得是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）（1，0）；（3）（，3）或（，3）或（，2）或（，2）

試題分析：（1）由拋物線與軸交于點(diǎn)(0，4)，與軸交于點(diǎn)（4，0）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得結(jié)果；
（2）先求得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理可得，，，設(shè)，的面積用表示，由∥可得， 即，即可表示出CE的長，過點(diǎn)作，垂足為，在Rt中求得∠B的正弦函數(shù)，在Rt中即可表示出QM的長，從而可以表示出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果；
（3）分為底邊、為腰且為頂角、為腰且為頂角三種情況分析即可.
（1）∵拋物線（）與軸交于點(diǎn)(0，4)，與軸交于點(diǎn)（4，0）
∴，解得
∴該拋物線的解析式為；
（2）令，則，解得，
∴
∴，，
設(shè)，的面積用表示，
∵∥
∴ ，即
∴ 
過點(diǎn)作，垂足為

在Rt中，
在Rt中， 
∴
∴當(dāng)時(shí)，的面積最大是3，即點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）；
（3）①當(dāng)為底邊時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1，又點(diǎn)在直線上，直線的解析式為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，3），所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，代入，得點(diǎn)的坐標(biāo)為（，3）或（，3）
②當(dāng)為腰，為頂角時(shí)，此時(shí)點(diǎn)是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與直線的交點(diǎn)，有兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)（4，0）與點(diǎn)重合，舍去，點(diǎn)（2，2），所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，，代入，得點(diǎn)的坐標(biāo)為（，2）或（，2）
③當(dāng)為腰，為頂角時(shí)，此時(shí)點(diǎn)應(yīng)是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與直線的交點(diǎn)，但是點(diǎn)到的距離為，所以不存在滿足條件的點(diǎn).
點(diǎn)評：本題知識點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，難度較大，一般是中考壓軸題，需要學(xué)生熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用.