Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，第1個(gè)正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）．延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)A1，作第2個(gè)正方形A1B1C1C；延長(zhǎng)C1B1交x軸于點(diǎn)A2，作第3個(gè)正方形A2B2C2C1…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2011個(gè)正方形的面積為（　�。�

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

先根據(jù)兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似，證明△AOD和△A1BA相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可以得到AB=2A1B，所以正方形A1B1C1C的邊長(zhǎng)等于正方形ABCD邊長(zhǎng)的 ，以此類推，后一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的，然后即可求出第2011個(gè)正方形的邊長(zhǎng)與第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的關(guān)系，從而求出第2011個(gè)正方形的面積．

解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，
∴∠ABA1=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，
又∵∠DOA=90°，∴∠DAO+∠ADO=90°，
∴∠ADO=∠BAA1，
在△AOD和△A1BA中，，
∴△AOD∽△A1BA，
∴OD：AO=AB：A1B=2，
∴BC=2A1B，
∴A1C=BC，
以此類推A2C1=A1C，A3C2=A2C1，…，
即后一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的倍，
∴第2011個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（）2010BC，
∵A的坐標(biāo)為（1，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
∴BC=AD==，
∴第2011個(gè)正方形的面積為[（ ）2010BC]2=5（ ）4020．
故選：D．