Question

在△ABC中，BC=6，S_△ABC=12，B₁C₁所在四邊形是△ABC的內(nèi)接正方形，則B₁C₁的長為

12

5

； 若B₂C₂所在四邊形是△AB₁C₁的內(nèi)接正方形，B₃C₃所在四邊形是△AB₂C₂的內(nèi)接正方形，依此類推，則B_nC_n的長為

6×(

2

5

)n

．

Answer 1

分析：過點A作AD⊥BC于點D，交B₁C₁于點E，交B₂C₂于點F，由B₁C₁所在四邊形是△ABC的內(nèi)接正方形，易證得△AB₁C₁∽△ABC，由在△ABC中，BC=6，S_△ABC=12，可求得高AD的長，然后由相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，求得B₁C₁的長，同理可求得B₂C₂與B₃C₃的長，觀察即可得規(guī)律：B_nC_n=6×（

2

5

）ⁿ．

解答：解：過點A作AD⊥BC于點D，交B₁C₁于點E，交B₂C₂于點F，
∵B₁C₁所在四邊形是△ABC的內(nèi)接正方形，
∴B₁C₁∥BC，AD⊥B₁C₁，ED=B₁C₁，
∴△AB₁C₁∽△ABC，
∵在△ABC中，BC=6，S_△ABC=12，
∴AD=4，
設(shè)B₁C₁=x，則AE=4-x，
∴

AE

AD

=

B1C1

BC

，
即：

4-x

4

=

x

6

，
解得：x=

12

5

，
即B₁C₁=

12

5

；
同理：△AB₂C₂∽△AB₁C₁，
∴

AF

AE

=

B2C2

B1C1

，
∵AE=4-

12

5

=

8

5

，
∴設(shè)B₂C₂=y，則AF=

8

5

-y，
∴

8 5 -y

8 5

=

y

12 5

，
解得：y=

24

25

，
即B₂C₂=

24

25

=6×（

2

5

）²；
同理：B₃C₃=6×（

2

5

）³；
∴B_nC_n=6×（

2

5

）ⁿ．
故答案為：

12

5

，6×（

2

5

）ⁿ．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與正方形的性質(zhì)．此題難度較大，屬于規(guī)律性題目，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．