Question

19、如圖所示，在△ABC中，BC＞AC，點D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分線CF交AD于點F．點E是AB的中點，連接EF．
（1）求證：EF∥BC；
（2）若△ABD的面積是6，求四邊形BDFE的面積．

Answer 1

分析：（1）在等腰△ACD中，CF是頂角∠ACD的平分線，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知F是底邊AD的中點，由此可證得EF是△ABD的中位線，即可得到EF∥BC的結(jié)論；
（2）易證得△AEF∽△ABD，根據(jù)兩個相似三角形的面積比（即相似比的平方），可求出△ABD的面積，而四邊形BDFE的面積為△ABD和△AEF的面積差，由此得解．

解答：（1）證明：△ACD中，DC=AC，CF平分∠ACD；
∴AF=FD，即F是AD的中點；
又∵E是AB的中點，
∴EF是△ABD的中位線；
∴EF∥BC；
（2）解：由（1）易證得：△AEF∽△ABD；
∴S_△AEF：S_△ABD=（AE：AB）²=1：4，
∴S_△ABD=4S_△AEF=6，
∴S_△AEF=1.5．
∴S_{四邊形BDFE}=S_△ABD-S_△AEF=6-1.5=4.5．

點評：此題主要考查的是等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理及相似三角形的判定和性質(zhì)．