Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=-2x-8分別與x軸，y軸相交于A，B兩點，點P（0，k）是y軸的負(fù)半軸上的一個動點，以P為圓心，3為半徑作⊙P．
（1）連接PA，若PA=PB，試判斷⊙P與x軸的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）當(dāng)k為何值時，⊙P與直線l相切；
（3）當(dāng)k為何值時，以⊙P與直線l的兩個交點和圓心P為頂點的三角形是正三角形？

Answer 1

解：（1）⊙P與x軸相切，
∵直線y=-2x-8與x軸交于A（-4，0），與y軸交于B（0，-8），
∴OA=4，OB=8．
由題意，OP=-k，
∴PB=PA=8+k．
∵在Rt△AOP中，k²+4²=（8+k）²
∴k=-3，
∴OP等于⊙P的半徑．
∴⊙P與x軸相切．
由y=-2x-8得A（-4，0），B（0，-8），
由勾股定理，得PA=，
∵PB=k+8，由PA=PB，得 =k+8，
解得k=-3，
∴⊙P與x軸相切；

（2）過P點作PQ⊥AB，垂足為Q，由PQ×AB=PB×OA，
PQ=，
當(dāng)⊙P與直線l相切時，PQ=3，即==3，
解得k=3-8．

（3）設(shè)⊙P與直線l交于C，D兩點，連接PC，PD，
當(dāng)圓心P₁在線段OB上時，作P₁E⊥CD于E，
∵△P₁CD為正三角形，
∴DE=CD=，P₁D=3．
∴P₁E=．
∵∠AOB=∠P₁EB=90°，∠ABO=∠P₁BE，
∴△AOB∽△P₁EB．
∴，即=，
∴P₁B=，
∴P₁O=BO-BP₁=8-．
∴P₁（0，-8）．
∴k=-8．
當(dāng)圓心P₂在線段OB延長線上時，
∵P₂B=，
∴P₂O=BO+BP₂=+8．
∴P₂（0，--8）．
∴k=--8．
∴當(dāng)k=-8或k=--8時，以⊙P與直線l的兩個交點和圓心P為頂點的三角形是正三角形．
分析：（1）通過一次函數(shù)可求出A、B兩點的坐標(biāo)及線段的長，再在Rt△AOP利用勾股定理可求得當(dāng)PB=PA時k的值，再與圓的半徑相比較，即可得出⊙P與x軸的位置關(guān)系．
（2）過P點作PQ⊥AB，垂足為Q，根據(jù)△ABP的面積公式，利用面積法表示PQ，當(dāng)⊙P與直線l相切時，PQ=3，列方程求k即可．
（3）根據(jù)正三角形的性質(zhì)，分兩種情況討論，
①當(dāng)圓心P在線段OB上時，②當(dāng)圓心P在線段OB的延長線上時，從而求得k的值．
點評：本題考查了一次函數(shù)圖象，圓的切線的判定，相似三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形等內(nèi)容，范圍較廣，題目較復(fù)雜．關(guān)鍵是由已知直線求A、B兩點坐標(biāo)，根據(jù)P點的坐標(biāo)，由線段相等，面積法分別列方程求解．