Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為直線AC上一點(diǎn)，直線AE⊥直線BD，垂足為E，直線AE和直線BC交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，交直線AE于F，連DF．
（1）若D在線段AC上（如圖1），求證：∠CDB=∠CDF；
（2）若D在AC延長(zhǎng)線上（如圖2），求證：∠CDB+∠CDF=180°．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）求出∠3=∠4，∠1=∠2，根據(jù)ASA推出△ACH≌△BCD，推出CH=CD，∠H=∠CDB，根據(jù)SAS推出△CHF≌△CDF，推出∠H=∠CDF即可；
（2）求出∠3=∠4，∠1=∠2，根據(jù)ASA推出△ACH≌△BCD，推出CH=CD，∠H=∠CDB，根據(jù)SAS推出△CHF≌△CDF，推出∠CHF=∠CDF即可．

解答：
證明：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC，
∴∠BAC=∠ABC=45°，∠ACH=90°，
∵CF∥AB，
∴∠4=∠BAC=45°，∠3=∠ABC=45°，
∴∠3=∠4，
∴在Rt△ACH中，∠1+∠H=90°，
∵AE⊥BD，
∴在Rt△BEH中，∠2+∠H=90°，
∴∠1=∠2，
在△ACH和△BCD中，

∠1=∠2 AC=BC ∠ACH=∠BCD=90°

，
∴△ACH≌△BCD（ASA），
∴CH=CD，∠H=∠CDB，
在△CHF和△CDF中

CH=CD ∠3=∠4 CF=CF

∴△CHF≌△CDF（SAS），
∴∠H=∠CDF，
∴∠CDB=∠CDF；

（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC，
∴∠BAC=∠ABC=45°，∠ACH=90°，
∵CF∥AB，
∴∠4=∠BAC=45°，∠3=∠ABC=45°，
∴∠3=∠4，
∴在Rt△ADE中，∠1+∠ADE=90°，
∵AE⊥BD，
∴在Rt△BEH中，∠2+∠ADE=90°，
∴∠1=∠2，
在△ACH和△BCD中

∠1=∠2 AC=BC ∠ACH=∠BCD=90°

，
∴△ACH≌△BCD（ASA），
∴CH=CD，∠ACH=∠CDB，
在△CHF和△CDF中

CH=CD ∠3=∠4 CF=CF

∴△CHF≌△CDF（SAS），
∴∠CHF=∠CDF，
∵∠DCH+∠CHE+∠DEH+∠CDE=360°，
∴∠ACH+∠CHF=180°，
∴∠CDB+∠CDF=180°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形內(nèi)角和定理和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目比較好，證明過(guò)程類似．