【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bxx軸分別交于原點O和點F(10,0),與對稱軸l交于點E(5,5).矩形ABCD的邊ABx軸正半軸上,且AB=1,邊AD,BC與拋物線分別交于點M,N.當矩形ABCD沿x軸正方向平移,點M,N位于對稱軸l的同側(cè)時,連接MN,此時,四邊形ABNM的面積記為S;點M,N位于對稱軸l的兩側(cè)時,連接EM,EN,此時五邊形ABNEM的面積記為S.將點A與點O重合的位置作為矩形ABCD平移的起點,設矩形ABCD平移的長度為t(0≤t≤5).

(1)求出這條拋物線的表達式;

(2)當t=0時,求SOBN的值;

(3)當矩形ABCD沿著x軸的正方向平移時,求S關于t(0<t≤5)的函數(shù)表達式,并求出t為何值時,S有最大值,最大值是多少?

【答案】(1)拋物線的表達式為y=﹣x2+2x;(2);

(3)S=﹣(t﹣2+0t4);S=﹣(t﹣2+4t5),當t=時,S有最大值,最大值是.

【解析】

(1)E(5,5)、F(10,0)代入y=ax2+bx,求解即可得到答案;

(2)t=0時,點B的坐標為(1,0),點N的坐標為(1,),然后根據(jù)三角形的面積公式計算即可;

(3)①0<t≤4時(圖1),S為梯形ABNM的面積,用t表示出各點的坐標,然后根據(jù)梯形面積公式得到關于t的二次函數(shù),再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得S的最大值;

4<t≤5時(圖2),S為五邊形ABNEM的面積,即兩個梯形相加,同求得S的最大值,與所得S進行比較,較大的即為所求.

(1)將E(5,5)、F(10,0)代入y=ax2+bx,

,

解得:,

拋物線的表達式為y=﹣x2+2x;

(2)當t=0時,點B的坐標為(1,0),點N的坐標為(1,),

∴BN=,OB=1,

∴SOBN=BNOB=;

(3)①0<t≤4時(圖1),

A的坐標為(t,0),點B的坐標為(t+1,0),

M的坐標為(t,﹣t2+2),點N的坐標為(t+1,﹣(t+1)2+2(t+1)),

∴AM=﹣t2+2t,BN=﹣(t+1)2+2(t+1),

∴S=(AM+BN)AB=×1×[﹣t2+2t﹣(t+1)2+2(t+1)],

=﹣t2+t+,

=﹣(t﹣2+

∵﹣<0,

t=4時,S取最大值,最大值為

4<t≤5時(圖2),

A的坐標為(t,0),點B的坐標為(t+1,0),

M的坐標為(t,﹣t2+2t),點N的坐標為(t+1,﹣(t+1)2+2(t+1)),

∴AM=﹣t2+2t,BN=﹣(t+1)2+2(t+1),

∴S=(5﹣t)(﹣t2+2t+5)+(t﹣4)[5﹣(t+1)2+2(t+1)],

=t3﹣3t2+5t+25)+(﹣t3+t2+t﹣),

=﹣t2+t﹣

=﹣(t﹣2+

∵﹣<0,

t=時,S取最大值,最大值為

=,

t=時,S有最大值,最大值是

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