Question

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5

3

，∠C=30°．點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE、EF．
（1）AC的長(zhǎng)是

 

，AB的長(zhǎng)是

 

．
（2）在D、E的運(yùn)動(dòng)過程中，線段EF與AD的關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變化，那么線段EF與AD是何關(guān)系，并給予證明；若變化，請(qǐng)說明理由．
（3）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由．
（4）當(dāng)t為何值，△BEF的面積是2

3

？

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì),含30度角的直角三角形,勾股定理,菱形的判定

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）在Rt△ABC中，∠C=30°，則AC=2AB，根據(jù)勾股定理得到AC和AB的值．
（2）先證四邊形AEFD是平行四邊形，從而證得AD∥EF，并且AD=EF，在運(yùn)動(dòng)過程中關(guān)系不變．
（3）求得四邊形AEFD為平行四邊形，若使?AEFD為菱形則需要滿足的條件及求得．
（4）BE=AB-AE=5-t，BF=BC-CF=5

3

-

3

t，從而得到S△BEF=

1

2

×BF×BE=2

3

，然后求得t的值．

解答：（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=30°，
∴AC=2AB，
根據(jù)勾股定理得：AC²-AB²=BC²，
∴3AB²=75，
∴AB=5，AC=10；

（2）EF與AD平行且相等．
證明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t．
又∵AE=t，
∴AE=DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
∴四邊形AEFD為平行四邊形．
∴EF與AD平行且相等．

（3）解：能；
理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又∵AE=DF，
∴四邊形AEFD為平行四邊形．
∵AB=BC•tan30°=5

3

×

3

3

=5，
∴AC=2AB=10．
∴AD=AC-DC=10-2t．
若使?AEFD為菱形，則需AE=AD，
即t=10-2t，t=

10

3

．
即當(dāng)t=

10

3

時(shí)，四邊形AEFD為菱形．

（4）解：∵在Rt△CDF中，∠A=30°，
∴DF=

1

2

CD，
∴CF=

3

t，
又∵BE=AB-AE=5-t，BF=BC-CF=5

3

-

3

t，
∴S△BEF=

1

2

×BE×BF=2

3

，
即：

1

2

(5-t)(5

3

-

3

t)=2

3

，
解得：t=3，t=7（不合題意舍去），
∴t=3．
故當(dāng)t=3時(shí)，△BEF的面積為2

3

．
故答案為：5，10；平行且相等；

10

3

；3．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．