Question

如圖，在等腰△ABC中，CH是底邊上的高線，點(diǎn)P是線段CH上不與端點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，連接AP交BC于點(diǎn)E，連接BP交AC于點(diǎn)F.

（1）證明：∠CAE＝∠CBF；

（2）證明：AE＝BF；

（3）以線段AE，BF和AB為邊構(gòu)成一個(gè)新的三角形ABG（點(diǎn)E與點(diǎn)F重合于點(diǎn)G），記△ABC和△ABG的面積分別為S_△ABC和S_△ABG，如果存在點(diǎn)，能使得S_△ABC＝S_△ABG ，求∠C的取值范圍.

Answer 1

（1）∵△是等腰△，是底邊上的高線，∴，

    又∵，∴△ ≌△，

    ∴，即;                     ……4分

   （2）∵，，,

    ∴△ ≌△，∴;                         ……4分

   （3）由（2）知△是以為底邊的等腰△，∴ 等價(jià)于，

    1）當(dāng)∠為直角或鈍角時(shí)，在△中，不論點(diǎn)在何處，均有，所以結(jié)論不成立;

    2）當(dāng)∠為銳角時(shí)， ∠，而，要使，只需使∠ =∠，此時(shí)，∠180°–2∠，

    只須180°–2∠∠，解得 60°∠ 90°.   …… 4分

   （也可在中通過(guò)比較和的大小而得到結(jié)論）